《三角函数》
例1。若角的终边经过点，则。
思路分析】由任意三角函数定义先求出，然后由二倍角正切公式可得。
解：角的终边经过点，所以，。
解后反思】本题是考查任意角三角函数和二倍角公式，求解时要能正确地理解任意角的三角函数定义，熟记三角公式。
练习：已知角的终边经过点，则 。
解答：。例2。已知且，则。
思路分析】由条件可先求得，然后据同角三角函数公式求得。
解：由得，从而。又，所以，所以。
解后反思】本题是检测二倍角的正弦及同角三角函数关系式，注意角的范围以便正确确定三角函数值的符号。
练习：已知-＜x＜0,sinx+cosx=.
1)求sinx-cosx的值；
2）求的值。
解 （1）方法一联立方程：
由①得sinx=-cosx,将其代入②，整理得。
25cos2x-5cosx-12=0.
-＜x＜0,所以sinx-cosx=-.
方法二 ∵sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.
(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x
1-2sinxcosx=1+=
又∵-＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,sinx-cosx＜0 ②
由①②可知：sinx-cosx=-.
2)由已知条件及（1）可知。
解得。tanx=-.又∵
例3.若，,，则的值等于 。
思路分析】本题我们首先应注意到条件角与结论角之间的关系：
从而可先由条件利用同角三角函数关系求得条件角的余弦，再用两角和的余弦公式求得。
由，则，，又 ，所以，。
解答：。解后反思】对知值求值问题，在求解中要善于用条件中的角来表示结论中的角。
练习：已知，sin()=sin则cos
解： ，则=
例4.求的值。
思路分析】注意到式中的角和三角函数名称多样性，可考虑从统一角和名称入手，化异为同，达到求解的目的。
解： 解后反思】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值。方法不拘泥，要注意灵活运用，在求三角的问题中，要注意这样的口决“三看”即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式。
如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用。
练习：求的值。
解：例5.已知，
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的值。
思路分析】第一问直接求解方程，但要注意角的范围。对于第二个问题，我们应设法在恒等变形中构造出出来。
解：(ⅰ由得，即，又，所以为所求。
解后反思】这一类问题在求解中要注意：在做恒等变形时尽量构造出条件中的三角函数，然后代换。
练习：已知。
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的值。
解：(ⅰ由，得，所以＝。
例6。将函数的图象向左平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是。
思路分析】将函数的图象向左平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此。
解答：。解后反思】根据图象求的解析式，一般做法是先求周期，然后得到；利用最高点与最低点的纵坐标得到；图象在轴左边与轴第一个交点的横坐标得到。
练．函数图像的一部分如右图所示它的解析式是 。
解答：。解析：先据图象知：，周期为。
从而，又。例7。为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点。
思路分析】利用三角函数图象变换规律：先平移后伸缩。
将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像。
解：将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）。
解后反思】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。
由函数的图象经过变换得到函数。
1）．y=asinx，xr(a>0且a1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0（2）函数y=sinωx, xr (ω0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
3）函数y＝sin(x＋)，x∈r(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来。
练习：已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x-,xr.
函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈r)的图象经过怎样的变换得到？
解析：先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象。
例8．已知函数。
（i）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（ii）求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值。
思路分析】先对函数表达式利用二倍角公式，诱导公式或两角和与差的正余弦公式进行恒等变形，把它化成仅含一个三角函数，然后对照正弦函数相应的性质处理。
解：（i）所以。
由得。所以函数的最小正周期为。
（ii）由（i）有。
因为 所以。
因为。所以当取得最大值2
【解后反思】此类问题在处理过程中，把函数式化为仅含一个三角函数是关键。
练习、已知函数为常数）．
1）求函数的最小正周期；
2）求函数的单调递增区间；
若时，的最小值为– 2 ，求的值．
的最小正周期
2) 当即时，函数单调递增，故所求区间为
3) 时，时，取得最小值．
例9．如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救。信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往处救援，求的值．
思路分析】本题是一道实际应用题，首先应考虑如何转化为数学问题。从文字描述中不难看出它与解三角形有关。在中利用正弦定理和余弦定理即可解决。
解】 如题图所示，在中，由余弦定理知。
由正弦定理。
由，则为锐角，.
由，则。解后反思】有关求解三角形中的计算问题一般要善于利用正弦定理和余弦定理，选择好定理是求解的关键，同时要防止增解的情况。
练习：某观测站c在a城的南偏西的方向。由a城出发的一条公路，走向是南偏东，在c处测得公路上b处有一人距c为31千米正沿公路向a城走去，走了20千米后到达d处，此时cd间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达a城？
解设∠acd=，∠cdb=.
在△bcd中，由余弦定理得。
cos==-，则sin=,而sin=sin(-60°)=sincos60°-cossin60°
×+×在△acd中，由正弦定理得=,ad===15(千米).
答这个人再走15千米就可到达a城。
例10．在中，a、b、c分别是三个内角a、b、c的对边，且a、b、c互不相等，设a=4，c=3，.
ⅰ）求的值；
ⅱ）求b的值。
思路分析】从所给条件来看：告诉三角形两边及其对角，因此要先用正弦定理求出，再用余弦定理求出b。
ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，因为，所以，即，解得。
ⅱ）解：在中，由余弦定理，
得，解得。因为a、b、c互不相等，所以。
【解后反思】解三角形的问题求解时关键是正确地选择正弦定理和余弦定理。
练习： (i)求角b 的大小； (ii)若．
解：(i)：代入。
ii)： 故．
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