导数及其应用。
一、【考点分析】
2023年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是a级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是b级要求。
导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用， 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一，所以备受高考命题老师的重视。
二、【典例解析】
例题1】设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 .
解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．
令得，故切点，代入直线方程，得 ．
答案】例题2】函数单调递增区间是。
解析】令。答案】
例题3】设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是。
填图象序号）
解析】 利用导函数的图像的零点，可以函数在及上单调递增，而在上单调递减．从而只有图像③符合要求．
答案】③例题4】函数在时有极值，则的。
值分别为。解析】
由已知，得
即解得，经检验：当时，不是极值点； 当时，符合题意。
答案】例题5】函数在上单调递增，则实数的最大值为 .
解析】(方法1),由已知，得即在区间上恒成立。
(方法2) 令，则把函数看成是函数，与函数的复合函数，在区间上单调递增，要使函数在上单调递增，只要在区间上单调递增即可。
当且仅当， 即，答案】
例题6】已知函数在与时都取得极值，1)求的值与函数的单调区间；
2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解析】（1）
由已知，得，即，解得。
函数的单调递增区间是与，单调递减区间是。
2）由（1）得，在区间上，
由已知，得，解得 .
故所求实数的取值范围为。
例题7】已知函数。
1）求函数在上的最大值和最小值；
2）过点作曲线的切线，求此切线的方程。
解析】（1），令 ，解得。
在上， 2）设切点为，则所求切线方程为。
切线过点，解得或。
切线方程为。
即或。例题8】设函数，且函数在处取得一个极值。
1）求实数的值；
2）对于任意实数，恒成立，求实数的最大值；
3）若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．
解析】(1)，由已知，得，即，解得。
经检验：符合题意。 故所求实数的值为。
方法1)由已知，得，而，实数的最大值为。
(方法2) ,
即恒成立，
解得，实数的最大值为。
3) 当时， ;
当时， ;当时， ;
当时，取得极大值。
当时，取得极小值 ;
当或时， 方程有且仅有一个实根。
解得或。实数的取值范围为。
例题9】从边长为的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的正四棱柱铁盒，要求正四棱柱的高度与底面正方形边长的比值不超过常数。 问：取何值时，容积有最大值．
解析】依题意：
解得。函数的定义域为。
1 若，即，则由，解得．
当时，;当时，.
当时， 容积取得极大值，即为最大值，且。
2 若，即，则有知v在定义域上为单调递增函数。
当时， 答： 若，则当时， 容积有最大值；
若，则当时， 容积有最大值。
例题10】已知函数，其中是自然常数，1）讨论时， 函数的单调性、极值；
2）求证：在（1）的条件下，；
3）是否存在实数，使函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解析】（1）时，，
当时，;当时，
在区间上是单调递减函数；
在区间上是单调递增函数。
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