数列。例1】在数列中，（）则。
分析】由得，∴是等差数列，∴．
答案】．例2】数列满足，，则。
分析】∵，该数列周期为4．∴．
答案】．例3】在等差数列中，若，则。
分析】∵数列是等差数列，∴由得，．
答案】8．例4】已知的前n项之和。
分析】可求得．
则…﹦．答案】67．
例5】设是数列的前项和，若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值是。
分析】当时，；当时，由得．
设，则．又﹦，∴
综上的最大值是。
答案】．例6】设为数列的前项和，，其中是常数．
1）求及；2）若对于任意的，成等比数列，求的值．
解：（1）当，当时，
又当时合上式，∴（
2）∵成等比数列，∴，即，整理得：对任意的都成立，或．
例7】数列中，（）数列满足（）．
1）求证：数列是等差数列；
2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由．
解：（1），而（），
数列是等差数列．
2）依题意有，而。
函数在（3.5，）上为减函数，在（，3.5）上也为减函数．
故当n＝4时，取最大值3，n＝3时，取最小值-1．
例8】在等差数列中，，前项和满足条件．
1）求数列的通项公式；
2）记，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，由得．
又，∴．2）由，得．
当时，；当且时，．②
－②得，．综上．
例9】某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：
．结果精确到0.1元）
解：设第个月月底的余额为元，则，于是。
还清银行贷款后剩余资金为．
答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金元；还清银行贷款后还有资金元．
例10】已知分别以和为公差的等差数列和满足，．
1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；
2）若，且数列，，…的前项和满足，求数列和的通项公式；
3）在（2）的条件下，令，，，且，问不等式≤是否对一切正整数恒成立？请说明理由．
解：（1）依题意，， 即， 即，等号成立的条件为，即．
等号不成立，原命题成立．
2）由得，即，即，得，，．
则，．3）在（2）的条件下，，．
要使≤，即要满足≤0．
当时，，数列单调减；单调增．
当正整数时，，，
当正整数时，，，
当正整数时，，，
则不等式≤对一切的正整数恒成立．
同理，当时，也有不等式≤对一切的正整数恒成立．
综上所述，不等式≤对一切的正整数恒成立．
练习1】在数列中，（）则其前8项的和= ．
答案】．练习2】已知数列满足，当时，，则数列的前100项和＝ ．
答案】1849．
练习3】在各项均为正数的等比数列中，，则 ．
答案】6．练习4】已知数列的前项和（），第项满足，则﹦ ．
答案】7．练习5】已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是。
答案】．练习6】数列的前项和记为．
1）求的通项公式；
2）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求．
解：（1）由可得，两式相减得．
又，∴．是首项为，公比为的等比数列．∴．
2）设的公差为，由得，可得，∴．
故可设．又，由题意可得，解得．
等差数列的各项为正，∴
练习7】已知是公差为的等差数列，它的前项和为， ,
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
解：（1）∵，解得．
2）∵，数列的通项公式为．
函数在和上分别是单调减函数，，又当时，．
数列中的最大项是，最小项是．
3）由得．又函数在和上分别是单调减函数，且时，；时，．
对任意的，都有，∴，
的取值范围是．
练习8】等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且．（1）求与；（2）证明：．
解：（1）设的公差为，的公比为，则，，．
依题意有．解得或(舍去) ．
2）∵，练习9】某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
（取）解：①甲方案获利：
万元），银行贷款本息：（万元），故甲方案纯利：（万元）．
乙方案获利：
万元），银行本息和：
万元），故乙方案纯利：（万元）．
综上可知，甲方案更好．
练习10】设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足：
1）求证：；
2）求数列的通项公式；
3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．
解：（1）∵在[0,1]上为增函数，﹒
两式相减得，
两式相减得．
又，，∴3）由及当时﹒
又也满足，∴存在使得对所有的成立．
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