27、(2023年湖北省荆门市)25.(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于a(m-2,0),b(m+2,0)两点,记抛物线顶点为c,且ac⊥bc.
1)若m为常数,求抛物线的解析式;
2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
3)设抛物线交y轴正半轴于d点,问是否存在实数m,使得△bcd为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
25.解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.……2分。
ac⊥bc,由抛物线的对称性可知:△acb是等腰直角三角形,又ab=4,c(m,-2)代入得a=.∴解析式为:y=(x-m)2-25分。
亦可求c点,设顶点式)
2)∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点7分。
3)由(1)得d(0, m2-2),设存在实数m,使得△bod为等腰三角形.
△bod为直角三角形,∴只能od=ob9分。
m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍).
当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍);
当m+2=0时,即m=-2时,b、o、d三点重合(不合题意,舍)
综上所述:存在实数m=4,使得△bod为等腰三角形12分。
28、(2023年襄樊市)26.(本小题满分13分)
如图13,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.
(1)求证:梯形是等腰梯形;
(2)动点、分别**段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;
(3)在(2)中:①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;
当取最小值时,判断的形状,并说明理由.
26.(1)证明:∵是等边三角形。
1分。是中点。
2分。梯形是等腰梯形. 3分。
2)解:在等边中, 4分。
∴ 5分。
∴ 6分。
∴ 7分。
3)解:①当时,则有。
则四边形和四边形均为平行四边形。
8分。当时,则有。
则四边形和四边形均为平行四边形。
9分。当或时,以p、m和a、b、c、 d中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.
此时平行四边形有4个. 10分。
为直角三角形 11分。
当取最小值时, 12分。
是的中点,而。
∴ 13分。
2023年湖南省株洲市)23.(本题满分12分)如图,已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.
1)求点的坐标(用表示);
2)求抛物线的解析式;
3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,试证明:为定值.
23.(1)由可知,,又△abc为等腰直角三角形,∴,所以点a的坐标是3分。
2)∵ 则点的坐标是().
又抛物线顶点为,且过点、,所以可设抛物线的解析式为:,得:
解得 ∴抛物线的解析式为 ……7分。
3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,.
∴∽∴即,得。
∴∽∴即,得。
又∵即为定值812分。
本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准评分。
29、(2023年衡阳市)26、(本小题满分9分)
如图12,直线与两坐标轴分别相交于a、b点,点m是线段ab上任意一点(a、b两点除外),过m分别作mc⊥oa于点c,md⊥ob于d.
(1)当点m在ab上运动时,你认为四边形ocmd的周长是否发生变化?并说明理由;
(2)当点m运动到什么位置时,四边形ocmd的面积有最大值?最大值是多少?
3)当四边形ocmd为正方形时,将四边形ocmd沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形ocmd与△aob重叠部分的面积为s.试求s与的函数关系式并画出该函数的图象.
解:(1)设点m的横坐标为x,则点m的纵坐标为-x+4(00,-x+4>0);
则:mc=∣-x+4∣=-x+4,md=∣x∣=x;
c四边形ocmd=2(mc+md)=2(-x+4+x)=8
当点m在ab上运动时,四边形ocmd的周长不发生变化,总是等于8;
2)根据题意得:s四边形ocmd=mc·md=(-x+4)· x=-x2+4x=-(x-2)2+4
四边形ocmd的面积是关于点m的横坐标x(0(3)如图10(2),当时,;
如图10(3),当时,;
s与的函数的图象如下图所示:
30、(湖南2023年娄底市)25.(本小题12分)如图11,在△abc中,∠c=90°,bc=8,ac=6,另有一直角梯形defh
hf∥de,∠hde=90°)的底边de落在cb上,腰dh落在ca上,且de=4,∠def=∠cba,ah∶ac=2∶3
1)延长hf交ab于g,求△ahg的面积。
2)操作:固定△abc,将直角梯形defh以每秒1个。
单位的速度沿cb方向向右移动,直到点d与点b
重合时停止,设运动的时间为t秒,运动后的直角梯。
形为defh′(如图12).
**1:在运动中,四边形cdh′h能否为正方形?若能,
请求出此时t的值;若不能,请说明理由。
**2:在运动过程中,△abc与直角梯形defh′重叠。
部分的面积为y,求y与t的函数关系。
25.(12分)
解:(1)∵ah∶ac=2∶3,ac=6
ah=ac=×6=4
又∵hf∥de,∴hg∥cb,∴△ahg∽△acb1分
=,即=,∴hg2分
s△ahg=ah·hg=×43分
2)①能为正方形4分。
hh′∥cd,hc∥h′d,∴四边形cdh′h为平行四边形
又∠c=90°,∴四边形cdh′h为矩形5分。
又ch=ac-ah=6-4=2
当cd=ch=2时,四边形cdh′h为正方形
此时可得t=2秒时,四边形cdh′h为正方形6分
(ⅰ)def=∠abc,∴ef∥ab
当t=4秒时,直角梯形的腰ef与ba重合。
当0≤t≤4时,重叠部分的面积为直角梯形defh′的面积。……7分
过f作fm⊥de于m, =tan∠def=tan∠abc===
me=fm=×2=,hf=dm=de-me=4-=
直角梯形defh′的面积为(4+)×2=
y8分 ⅱ)∵当4<t≤5时,重叠部分的面积为四边形cbgh的面积-矩形cdh′h的面积9分
而s边形cbgh=s△abc-s△ahg=×8×6-=
s矩形cdh′h =2t
y=-2t10分
ⅲ)当5<t≤8时,如图,设h′d交ab
于p. bd=8-t
又=tan∠abc=
pd=db=(8-t)……11分重叠部分的面积y=s
pdb=pd·db
·(8-t)(8-t)
(8-t)2=t2-6t+24
重叠部分面积y与t的函数关系式:
y=(0≤t≤4)
2t(4<t≤5)
t2-6t+24(5<t≤8)
注:评分时,考生未作结论不扣分)
31、(2023年湖南省益阳市) 20.阅读材料:
如图12-1,过△abc的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△abc的“水平宽”(a),中间的这条直线在△abc内部线段的长度叫△abc的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点c(1,4),交x轴于点a(3,0),交y轴于点b.
1)求抛物线和直线ab的解析式;
2)点p是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结pa,pb,当p点运动到顶点c时,求△cab的铅垂高cd及;
3)是否存在一点p,使s△pab=s△cab,若存在,求出p点的坐标;若不存在,请说明理由。
20.解:(1)设抛物线的解析式为: 1分。
把a(3,0)代入解析式求得。
所以 3分。
设直线ab的解析式为:
由求得b点的坐标为 4分。
把,代入中。
解得: 所以 6分。
2)因为c点坐标为(1,4)
所以当x=1时,y1=4,y2=2
所以cd=4-2=2 8分。
平方单位) 10分。
3)假设存在符合条件的点p,设p点的横坐标为x,△pab的铅垂高为h,则 12分。
由s△pab=s△cab
得: 化简得:
解得, 将代入中,解得p点坐标为 14分。
32、(2023年陕西省)25.(本题满分12分)
问题**。1)请在图①的正方形内,画出使的一个点,并说明理由.
2)请在图②的正方形内(含边),画出使的所有的点,并说明理由.
问题解决。3)如图③,现在一块矩形钢板.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板,且.请你在图③中画出符合要求的点和,并求出的面积(结果保留根号).
25.(本题满分12分)
解:(1)如图①,连接交于点,则.
点为所求. (3分)
2)如图②,画法如下:
1)以为边在正方形内作等边;
2)作的外接圆,分别与交于点.
在中,弦所对的上的圆周角均为,上的所有点均为所求的点. (7分)
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