实验三中九年级数学竞赛试题（12）命题人郭艳超。
一。 利用判别式。
例1.（2023年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程。
与的根都是整数。
解：例2．（2023年四川竞赛题）已知方程有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x，x，则m=－(x+x)为负整数。
∴一定是完全平方数。
设（为正整数）
即： 二。 利用求根公式。
例3．（2023年全国联赛）设关于x的二次方程。
的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。
三。 利用方程根的定义。
例为何值时，方程和有相同的整数根？
并且求出它们的整数根？
解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)
当b≠2时，四。利用因式分解。
例5.（2023年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有个。
解： 当a=1时，当a≠1时，例6.(2023年福州竞赛题) 当m是什么整数时，关于x的方程。
的两根都是整数？
解：设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得。
由②①消去，可得。
则。五。利用根与系数的关系。
例7.(2023年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程仅有整数根。
解：设方程的两整数根分别是x，x，且。
由根与系数的关系得
由①得 ③将③代入②得。
显然 x≠4，故x可取5，6，7，8。
从而易得a=25，18，16。
六。构造新方程。
例8.(2023年全国联赛)方程有两个整数根，求a的值。
解：原方程变为。
设y=x-8，则得新方程为。
设它的两根为y，y，则。
∵x是整数，∴y，y也是整数，则y，y只能分别为1，-1或-1，1
即y+y=0 ∴a=8。
七。构造等式。
例9.(2023年全国联赛c卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程。
的所有的根都是正整数。
解：设三个方程的正整数解分别为，则有。
令x=1，并将三式相加，注意到x≥1（i=1，2，…6），有。
但 a≥1，b≥1，c≥1，又有 3-（a+b+c）≤0，∴ 3-（a+b+c）=0
故 a=b=c=1
八。分析等式。
例10.(2023年安徽竞赛题) n为正整数，方程。
有一个整数根，则n
解：不妨设已知方程的整数根为α，则。
整理。得。因为为整数，所以为整数。
也一定是整数，要使为整数，必有。
由此得。解得。
九。反客为主。
例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程。
至少有一个整数根。
解：由原方程知x≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程。
得（因为是正整数）
则得。解得。
因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。
分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。
十。利用配方法。
例12. (第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程。
有两个不等的负整数根，则整数a的值是。
解。十一。利用奇偶分析。
例13.(2023年江苏第14届竞赛题)已知方程有两个质数根，则常数a
解：设方程的两个质数根为x，x ( x＜x)
由根与系数的关系得x+x=1999.
显然 x=2,x=1997,于是a=2×1997=3994.
十二。利用反证法。
例14.不解方程，证明方程无整数根。
证明：假设方程有两个整数根αβ,则α+β1997,αβ1997,由第二式知αβ均为奇数，于是α+β为偶数，但这与第一式相矛盾，所以α,β不可能都是整数。
假设方程只有一个整数根，则α+β不可能是整数， 也与第一式相矛盾，所以方程不可能只有一个整数根。
综上所述，原方程无整数根。
实验三中九年级数学竞赛试题（12）命题人郭艳超。
四。 利用判别式。
例1.（2023年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程。
与的根都是整数。
解：∵方程有整数根，∴⊿16-16m≥0，得m≤1
又∵方程有整数根
得。综上所述，－≤m≤1
x可取的整数值是-1，0，1
当m=-1时，方程为－x-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0m=1
例2．（2023年四川竞赛题）已知方程有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x，x，则m=－(x+x)为负整数。
∴一定是完全平方数。
设（为正整数）
即： m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同。
∴或。解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x-5x+6=0，两根分别为x=2，x=3。
利用求根公式。
例3．（2023年全国联赛）设关于x的二次方程。
的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。
解： 由求根公式得。
即 由于x≠-1，则有。
两式相减，得。
即。由于x，x是整数，故可求得或或。
分别代入，易得k=，6，3。
五。 利用方程根的定义。
例为何值时，方程和有相同的整数根？
并且求出它们的整数根？
解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)
当b≠2时，x=1+b,代入第一个方程，得。
解得b=1,x=2
当b=2时，两方程无整数根。
∴b=1,相同的整数根是2
四。利用因式分解。
例5.（2023年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有个。
解： 当a=1时，x=1
当a≠1时，原方程左边因式分解，得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0
即得。∵ x是整数。
∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3
由上可知符合条件的整数有5个。
例6.(2023年福州竞赛题) 当m是什么整数时，关于x的方程。
的两根都是整数？
解：设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得。
由②①消去，可得。
则有或。解得： 或。
由此或0，分别代入②，得或。
五。利用根与系数的关系。
例7.(2023年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程仅有整数根。
解：设方程的两整数根分别是x，x，且。
由根与系数的关系得
由①得 ③将③代入②得。
显然 x≠4，故x可取5，6，7，8。
从而易得a=25，18，16。
六。构造新方程。
例8.(2023年全国联赛)方程有两个整数根，求a的值。
解：原方程变为。
设y=x-8，则得新方程为。
设它的两根为y，y，则。
∵x是整数，∴y，y也是整数，则y，y只能分别为1，-1或-1，1
即y+y=0 ∴a=8。
七。构造等式。
例9.(2023年全国联赛c卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程。
的所有的根都是正整数。
解：设三个方程的正整数解分别为，则有。
令x=1，并将三式相加，注意到x≥1（i=1，2，…6），有。
但 a≥1，b≥1，c≥1，又有 3-（a+b+c）≤0，∴ 3-（a+b+c）=0
故 a=b=c=1
八。分析等式。
例10.(2023年安徽竞赛题) n为正整数，方程。
有一个整数根，则n
解：不妨设已知方程的整数根为α，则。
整理。得。因为为整数，所以为整数。
也一定是整数，要使为整数，必有。
由此得，即。
解得n=3或-2（舍去）
∴ n=3。
九。反客为主。
例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程。
至少有一个整数根。
解：由原方程知x≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程。
得（因为是正整数）
则得。解得。
因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。
分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。
十。利用配方法。
例12. (第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程。
有两个不等的负整数根，则整数a的值是。
解：原方程可变为。即。得：
当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5时，x为负整数。
但a=0时，x＞0； a=-5时，x==-1
又a≠-1 ∴ a=-2。
十一。利用奇偶分析。
例13.(2023年江苏第14届竞赛题)已知方程有两个质数根，则常数a
解：设方程的两个质数根为x，x ( x＜x)
由根与系数的关系得x+x=1999.
显然 x=2,x=1997,于是a=2×1997=3994.
十二。利用反证法。
例14.不解方程，证明方程无整数根。
证明：假设方程有两个整数根αβ,则α+β1997,αβ1997,由第二式知αβ均为奇数，于是α+β为偶数，但这与第一式相矛盾，所以α,β不可能都是整数。
假设方程只有一个整数根，则α+β不可能是整数， 也与第一式相矛盾，所以方程不可能只有一个整数根。
综上所述，原方程无整数根。
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