2023年九年级数学竞赛试题。
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1、已知整数满足，那么整数对的个数是（ ）
a）0 （b）1 （c）2 （d）3
2、方程的正根的个数是。
a）0 （b）1 （c）2 （d）3
3、在直角坐标系中，已知两点a、b以及动点c、d，则当四边形abcd的周长最小时，比值为 （
a） （b） （c） （d）
4、设一个三角形的三边长为正整数，其中。则对于给定的边长，所有这样的三角形的个数是。
a） （b） （c） （d）
5、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（ ）
a）0 （b）1 （c）2 （d）3
6、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中a点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有 （
a）3个 （b）4个 （c）5个 （d）6个。
7.设，则与a最接近的正整数是( )
a.18b.20c.24d.25
8在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数的函数值中整数的个数是( )
a.59b.120c.118d.60
二、填空题（每题5分，共40分）
9、已知，且，则s的最大值与最小值的差是 。
10、已知两个整数、，满足，且是整数，那么数对有个。
11、如图，ab为半圆o的直径，c为半圆上一点，，点p在ab的延长线上，且。连结pc交半圆于点d，过p作pe⊥pa交ad的延长线于点e，则pecm。
12、△abc中，bc＝，ac＝，ab＝。若ac、bc上的中线be、ad垂直相。
交于点o，则可用、的代数式表示为。
13、设为整数，且关于的方程有整数根，则的值为。
14、已知△abc的内切圆半径为，，则的取值范围是。
三、 解答题：（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15、对于实数，只有一个实数值满足等式。
试求所有这样的实数的和。
16、如图，圆内接六边形abcdef满足ab＝cd＝ef，且对角线ad、be、cf交于一点q，设ad与ce的交点为p。
1)求证：;（2）求证：.
17.已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值。
18、平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。
1)若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？
2)若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？
3)若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点。
参***与评分标准。
. 8. b
15.解：题中等式可化为 ①
当方程①有两个相等的实数根时， ，由此得，此时方程①有一个根，验证可知的确满足题中的等式。
当方程①有两个不相等的实数根时，，由此得。
若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得，此时方程①的另一个根，它确也满足题中的等式；
若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得，此时方程①的另一个根，验证可知确满足题中的等式；
因此，，即为所求，且。
17.解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2-a，.
于是b，c是一元二次方程的两实根，0，0，≥0. 所以a≥48分）
又当a=4，b=c=-1时，满足题意。
故a，b，c中最大者的最小值为410分）
2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负。
1） 若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾。
2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则。
由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故的最小值为615分）
18．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段（条）
2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段。
条）3）设第一组有个点，第二组有个点，第三组有个点，则平面上共有线段。
条）若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为。
与原来线段的条数的差是，即。
当时，，此时平面上的线段条数不减少。
当时，此时平面上的线段条数一定减少。
由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多。
设三组中都有个点，则线段条数为解得。
所以平面上至少有24个点。
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