（2024年海淀24题）已知抛物线．
1）求证抛物线与轴有两个不同的交点；
2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；
3）在（2）的情况下，设抛物线顶点为，抛物线与轴的两个交点的重中右测交点为．若为坐标轴上一点，且，求的坐标．
解：（1）证明：令，则。
因为。1分。
所以此抛物线与x轴有两个不同的交点2分。
（2）因为关于x的方程的根为，由m为整数，当为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点。
设（其中n为整数3分。
则。因为与的奇偶性相同，所以或。
解得。经过检验，当时，方程有整数根。
所以5分。（3）当m=2时，此二次函数解析式为。
则顶点坐标为。
抛物线与x轴的交点为、.
设抛物线的对称轴与x轴交于点，则。
在直角三角形中，由勾股定理，得。
由抛物线的对称性可得，.
又，即。所以△abo为等腰直角三角形6分。
则。所以为所求的点7分。
若满足条件的点在y轴上时，设坐标为，过a作an⊥y轴于n，连结、，则。
由勾股定理，有；，即。
解得y=1.
所以为所求的点8分。
综上所述，满足条件的m点的坐标为（1，0）或（0，1）.
2008西城一模24题7分）已知抛物线： 的顶点为a，抛物线的对称轴是y轴，顶点为点b，且抛物线和关于p（1，3）成中心对称。
1）用m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
2）求m的值和抛物线的解析式；
3）设抛物线与x轴正半轴的交点是c，当为等腰三角形时，求a的值。
24.（1）因为，所以，抛物线的顶点a（m，2m+12分。
2) 如图，因为点a、b关于点p（1，3）成中心对称，作pey轴于点e，作afy轴于点f，可知。 所以，af=2pe,即m=2.--3分。
又p (1,3),a（2，5）设直线ap的解析式为y=kx+b,把a、p的坐标代入得所以k=2，b=1.故直线ab的解析式是y=2x+1,得抛物线的顶点的坐标是b(0,1).-4分。
因为关于点p成中心对称，所以，抛物线的开口大小相同，方向相反，得的解式是5分。
(3)在中，因为ab=,所以不存在ab=ac的情况。
当为等腰三角形时，只有以下两种情况：
如图1,设c(x,0),若bc=ab=,则oc=,得c(,0).又 c(,0)在上，则。--6分。
如图2,若ac=bc，设c（x，0），作adx轴于点d，在中，；
在中， 由，解得x=7.
因为c(7,0)在上，所以a=.
综上，满足使是等腰三角形的a的值有两个：
7分。09甘肃省兰州市）
29.（本题满分9分）如图①，正方形 abcd中，点a、b的坐标分别为（0，10），（8，4），
点c在第一象限．动点p在正方形 abcd的边上，从点a出发沿a→b→c→d匀速运动，
同时动点q以相同速度在x轴正半轴上运动，当p点到达d点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
1)当p点在边ab上运动时，点q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点q开始运动时的坐标及点p运动速度；
2)求正方形边长及顶点c的坐标；
3)在（1）中当t为何值时，△opq的面积最大，并求此时p点的坐标；
4)如果点p、q保持原速度不变，当点p沿a→b→c→d匀速运动时，op与pq能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
29. （本题满分9分）
解：（1）（1，0） 1分。
点p运动速度每秒钟1个单位长度． 2分。
2） 过点作bf⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．
在rt△afb中3分。
过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．
∴△abf≌△bch．
所求c点的坐标为（14，124分。
3） 过点p作pm⊥y轴于点m，pn⊥轴于点n，则△apm∽△abf．
设△opq的面积为（平方单位）
（0≤≤10） 5分。
说明：未注明自变量的取值范围不扣分．
∵<0 ∴当时， △opq的面积最大． 6分。
此时p的坐标为（，）7分。
4） 当或时， op与pq相等． 9分。
对一个加1分，不需写求解过程．
09广东省湛江市）
28．已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建。
立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折。
得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得。
直线重合．1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？
3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标。
28．解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形，可得 2分。
设过此三点的抛物线为则。
过三点的抛物线的函数关系式为 4分。
2）由已知平分平分且重合，则。
又。即 6分。
当时，有最大值 8分。
3）假设存在，分两种情况讨论：
当时，由题意可知，且点在抛物线上，故点与点重合，所求的点为（0，3） 9分。
当时，过点作平行于的直线，假设直线交抛物线于另一点点，直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重合，直线的方程为 10分。
由得或。又点。
故该抛物线上存在两点满足条件． 12分。
说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分．
09江西省南昌市）
25．如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
1）求点到的距离；
2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设。
当点**段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
当点**段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由。
25．（1）如图1，过点作于点 1分。
为的中点，在中，∴ 2分。
即点到的距离为 3分。
2）①当点**段上运动时，的形状不发生改变．
同理 5分。
如图2，过点作于，∵
则。在中，
的周长= 7分。
当点**段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则。
类似①， 8分。
是等边三角形，∴
此时， 9分。
当时，如图4，这时。
此时， 当时，如图5，
则又。因此点与重合，为直角三角形．
此时， 综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 12分。
09四川省绵阳市）
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形aobc在第一象限内，e是边ob上的动点（不包括端点），作∠aef = 90，使ef交矩形的外角平分线bf于点f，设c（m，n）．
1）若m = n时，如图，求证：ef = ae；
2）若m≠n时，如图，试问边ob上是否还存在点e，使得ef = ae？若存在，请求出点e的坐标；若不存在，请说明理由．
3）若m = tn（t＞1）时，试**点e在边ob的何处时，使得ef =（t + 1）ae成立？并求出点e的坐标．
25．（1）由题意得m = n时，aobc是正方形．
如图，在oa上取点c，使ag = be，则og = oe．
∠ego = 45，从而 ∠age = 135．
由bf是外角平分线，得 ∠ebf = 135，∴ age =∠ebf．
∠aef = 90，∴ feb +∠aeo = 90．
在rt△aeo中，∵ eao +∠aeo = 90， ∠eao =∠feb，∴ age≌△ebf，ef = ae．
2）假设存在点e，使ef = ae．设e（a，0）．作fh⊥x轴于h，如图．
由（1）知∠eao =∠feh，于是rt△aoe≌rt△ehf．
fh = oe，eh = oa．
点f的纵坐标为a，即 fh = a．
由bf是外角平分线，知∠fbh = 45，∴ bh = fh = a．
又由c（m，n）有ob = m，∴ be = ob－oe = m－a， eh = m－a + a = m．
又eh = oa = n， ∴m = n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边ob上不存在点e，使ef = ae成立．
3）如（2）图，设e（a，0），fh = h，则eh = oh－oe = h + m－a．
由 ∠aef = 90，∠eao =∠feh，得 △aoe∽△ehf， ef =（t + 1）ae等价于 fh =（t + 1）oe，即h =（t + 1）a，且，即，整理得 nh = ah + am－a2，∴
把h =（t + 1）a 代入得 ，即 m－a =（t + 1）（n－a）．
而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．
化简得 ta = n，解得．
t＞1， ∴n＜m，故e在ob边上．
当e在ob边上且离原点距离为处时满足条件，此时e（，0）．
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