解直角三角形。
一、选择题。
1. （2011贵州毕节，14,3分）如图，将一个rt△abc形状的楔子从木桩的底端点p处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示)，则木桩上升了( )
a、 b、 c、 d、
解题思路】设木桩与ab 的交点为e,过e作eh⊥bc,垂足为h,在rt△beh中，tan∠b=,答案】a
点评】本题考查解直角三角形的知识在实际中的应用，在解题时，要从实际问题中构建直角三角形的模型，再运用三角函数知识解决。难度中等。
2.（2011湖北黄石，7，3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图(3)．则三角板的最大边的长为。
a．3cm b．5cm c． cm d． cm
解题思路】过点a作ad垂直纸带下边沿于点d, 因为∠acd=30°,所以ac=2ad=6cm,所以等腰直角三角板的最大边的长为cm．
答案】d点评】本题以学生身边的三角板和纸带为背景，把锐角三角函数融合在内，图是学生熟知的，符合学生的生活常识和认知基础，使学生身边的实际问题与数学问题发生一种自然的联系，同时考查了学生从图形中获取信息的能力，体现了数学与学生生活息息相关的基本理念．构造直角三角形，用好30°，求出ac长是解题的关键．难度中等．
3. （2023年湖北省武汉市3分）如图，铁路mn和公路pq在点o处交汇，∠qon=30°.公路pq上a处距离o点240米。
如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响。那么火车在铁路mn上沿on方向以72千米/时的速度行驶时，a处受噪音影响的时间为。
a.12秒。 b.16秒。 c.20秒。 d.24秒。
分析：求出点a到on的距离，也就是台风中心到a处的最短距离，找出a处受影响的起点和终点，计算之间的距离，得出受影响的时间．
答案：b点评：本题以受台风影响或噪音等影响为背景考查解直角三角形、勾股定理等知识点是常见的题目，关键是理解点a到直线on的距离就是台风中心到点a的最短距离．
4. （2011湖北荆州，8，3分）在中，,ab=4，ac=2，则的值是（ ）
abcd.
解题思路】如图，作cd⊥ab于d，则，在中，ac=2可得ad=1，cd=,所以bd=5，在中，,所以。
答案】d点评】解决本题的关键是通过添加辅助线把锐角三角形转化为直角三角形，再正确运用三角函数的有关知识解决。
10．（2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在a处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在b处测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出a、b两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：
＝1.414，＝1.732
a．36.21米b．37.71米c．40.98米d．42.48米。
解题思路】如下图，ab＝ef＝30米，cd＝1.5米，∠gde＝90°，∠deg＝45°，∠dfg＝30°．设dg＝x米，在rt△dgf中，tan∠dfg＝，即tan30°＝＝df＝x．在rt△dge中，∵∠gde＝90°，∠deg＝45°，∴de＝dg＝x．根据题意，得x－x＝30，解得x＝≈40.98．∴cg＝40.
98+1.5＝42.48(米)．
答案】d点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，分别在两个直角三角形中，设出未知数，由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来，然后构建方程，解方程即可求出未知线段的长．
1. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图(3)．则三角板的最大边的长为。
a．3cm b．5cm c． cm d． cm
解题思路】过点a作ad垂直纸带下边沿于点d, 因为∠acd=30°,所以ac=2ad=6cm,所以等腰直角三角板的最大边的长为cm．
答案】d点评】本题以学生身边的三角板和纸带为背景，把锐角三角函数融合在内，图是学生熟知的，符合学生的生活常识和认知基础，使学生身边的实际问题与数学问题发生一种自然的联系，同时考查了学生从图形中获取信息的能力，体现了数学与学生生活息息相关的基本理念．构造直角三角形，用好30°，求出ac长是解题的关键．难度中等．
二、填空题。
1. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为。
解题思路】依题意先作出图形，如下图所示，坝内斜坡的坡度 ，即为de与ae的比，坝外斜坡的坡度i=1：1，即为cf与bf的比，进而可分别求出两个坡角．
如图所示，ed：ae=1：，∴a=30°．
cf：bf=1：1，∴∠b=45°．
∠a+∠b=30°+45°=75°．
答案】75°．
点评】本题属于解直角三角形的应用——坡度坡角问题，知道一些特殊角的边长之间的比例，会求解简单的直角三角形．难度较小。
2. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿ac方向开山修路（如图3所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从ac上的一点b取∠abd＝140°，bd＝1000m，∠d＝50°，为了使开挖点e在直线ac上，那么dem（供选用的三角函数值：sin50°＝0.
7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）
解题思路】本题就是在rt△bde中，已知斜边bd＝1000m，∠d＝50°，求∠d的邻边de．由cos∠d＝得de＝1000cos50°＝1000×0.6428＝642.8（米）．
答案】642.8．
点评】本题是解直角三角形应用题，直接由教材中的练习题改编而成，解答关键是阅读题意，从中建立恰当的解直角三角形模型．难度较小．
16．（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯a射出的光线ab,ac 与地面mn 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯a与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度bc是 m .（不考虑其它因素）
解题思路】过点a作ad⊥mn于d，则bc=bd-cd,而bd、cd分别在直角三角形abd、acd中求出：，则bc=bd-cd=
答案】．点评】本题主要考查了直角三角形的边角关系及其应用，解决本题的关键是构造直角三角形，考查了考查考生应用知识解决问题的能力。难度中等。
三、解答题。
1. （2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道ab的长度。已知在离地面1500m高度c处的飞机，测量人员测得正前方a、b两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道ab的长。
（取1.73）
解题思路】在rt△coa中，由条件可求出oa的长；而在rt△cob中，由条件可求出ob的长，最后由ab=ob-oa.解决问题。
答案】解：在rt△coa中，∠oca=90°- 60°= 30°，oa，在rt△cob中，∠ocb=∠cbo=∠dcb=45°，ob=oc=1500，∴ab= (m).
答：隧道ab的长约为635m.
点评】这是一道三角函数应用题，利用特殊角的三角函数值通过计算而不需要列方程就可以解决问题，但应注意结果的精确要求。难度较小。
2. （2011安徽芜湖，18，8分）
如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔bd的高度，他们先在a处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得古塔顶端点的仰角为。求该古塔bd的高度(,结果保留一位小数).
解题思路】在rt△bcd和rt△abd中，利用已知条件，根据三角函数知识都不能直接求出bd长，因此应考虑用bd长的代数式表示出相关量，列方程来求解。
答案】解：根据题意可知：
在中，由得。
在中，由。得。
又∵,∴m).
答：该古塔的高度约为27.3m
点评】本题是一道常规的三角函数应用题，主要考查利用三角函数相关知识解决实际问题的能力，而特殊角的三角函数值往往是考查的重点。本题不能直接通过计算求解，需要列方程求解。难度中等。
3. (2011广东广州，23， 12分)（12分）已知rt△abc的斜边ab在平面直角坐标系的x轴上，点c(1,3)在反比例函数y=的图象上，且sin∠bac=。
1）求k的值和边ac的长；（2）求点b的坐标。
解题思路】（1）求k的值，可以根据点c(1,3)在反比例函数y=的图象上，把点c(1,3)的坐标代入y=中可以计算出k的值。根据点c(1,3)，可以得点c到x 轴的距离为3，作cd⊥ab于点d，可以得到rt△acd，所以cd＝3。在rt△acd中，已知一直角边和一锐角的正弦，可以解直角三角形，计算出边ac的长。
2）由于仅已知点c的坐标，ab位置未定，有两种可能，一种是点a在点b的左侧，另一种可能是点a在点b的右侧，故应该分类讨论。解直角三角形acd，可以计算出ad的长度。求点b的坐标，可以先计算出线段ob的长度，根据ob=ab-oa，oa=ad-od计算。
答案】解：(1)∵点a（1,3）在反比例函数的图像上。
作cd⊥ab于点d，所以cd＝3
在rt△acd中，sin∠bac=，∴解得 ac=5
2) 在rt△acd中，
cos∠bac=
如图1，在rt△acd中，cos∠bac=，∴
点b的坐标为。
如图2，∴
点b的坐标为。
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