2024年中考数学专题12:押轴题。
解答题。1. （日照10分）如图，抛物线与双曲线相交于点a，b．已知点b的坐标为（－2，－2），点a在第一象限内，且tan∠aox＝4．过点a作直线ac∥轴，交抛物线于另一点c．
1）求双曲线和抛物线的解析式；
2）计算△abc的面积；
3）在抛物线上是否存在点d，使△abd的面积等于△abc的面积．若存在，请你写出点d的坐标；若不存在，请你说明理由．
2. （滨州12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点o落在水平面上，对称轴是水平线oc．点a、b在抛物线造型上，且点a到水平面的距离ac＝4米，点b到水平面距离为2米，oc＝8米．
1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
2）为了安全美观，现需在水平线oc上找一点p，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱pa、pb对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点p？（无需证明）
3）为了施工方便，现需计算出点o、p之间的距离，那么两根支柱用料最省时点o、p之间的距离是多少？（请写出求解过程）
3.（德州12分）在直角坐标系中，已知点p是反比例函数（＞0）图象上一个动点，以p为圆心的圆始终与轴相切，设切点为a．
1）如图1，⊙p运动到与轴相切，设切点为k，试判断四边形okpa的形状，并说明理由．
2）如图2，⊙p运动到与轴相交，设交点为b，c．当四边形abcp是菱形时：
求出点a，b，c的坐标．
在过a，b，c三点的抛物线上是否存在点m，使△mbp的面积是菱形abcp面积的．若存在，试求出所有满足条件的m点的坐标，若不存在，试说明理由．
4.（烟台14分）如图，在直角坐标系中，梯形abcd的底边ab在轴上，底边cd的端点d在y轴上。直线cb的表达式为y=－x+，点a、d的坐标分别为（－4，0），（0，4）.
动点p自a点出发，在ab上匀速运行。动点q自点b出发，在折线bcd上匀速运行，速度均为每秒1个单位。当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动。
设点p运动t（秒）时，△opq的面积为s（不能构成△opq的动点除外）.
1）求出点b、c的坐标；
2）求s随t变化的函数关系式；
3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值。
5.（东营12分）如图所示，四边形oabc是矩形．点a、c的坐标分别为()，0，1)，点d是线段bc上的动点(与端点b、c不重含)，过点d作直线交折线oab于点e。记△ode的面积为s．求s与b的函数关系式：
6.（菏泽9分）如图，抛物线与轴交于a，b两点，与轴交于c点，且a（﹣1，0）．
1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；
2）判断△abc的形状，证明你的结论；
3）点m（m，0）是轴上的一个动点，当mc+md的值最小时，求m的值．
8.（潍坊12分） 如图，抛物线的顶点为m. 抛物线交轴于a、b两点，交轴正半轴于d点。 以ab为直径作圆，圆心为c.定点e的坐标为（－3，0），连接ed.（）
1）写出a、b、d三点的坐标；
2）当为何值时，m点在直线ed上，此时直线ed与圆的位置关系是怎样的？
3）当变化时，用表示△aed的面积s，并在给出的直角坐标系中画出s关于的示意图。
1、如图，在平行四边形abcd中，ad=4 cm，∠a=60°，bd⊥ad. 一动点p从a出发，以每秒1 cm的速度沿a→b→c的路线匀速运动，过点p作直线pm，使pm⊥ad .
1) 当点p运动2秒时，设直线pm与ad相交于点e，求△ape的面积；
2) 当点p运动2秒时，另一动点q也从a出发沿a→b→c的路线运动，且在ab上以每秒1 cm的速度匀速运动，在bc上以每秒2 cm的速度匀速运动。 过q作直线qn，使qn∥pm. 设点q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线pm与qn截平行四边形abcd所得图形的面积为s cm2 .
求s关于t的函数关系式；
(附加题) 求s的最大值。
2、如图，在矩形abcd中，ab＝6米，bc＝8米，动点p以2米/秒的速度从点a出发，沿ac向点c移动，同时动点q以1米/秒的速度从点c出发，沿cb向点b移动，设p、q两点移动t秒（0（2）在p、q两点移动的过程中，四边形abqp与△cpq的面积能否相等？若能，求出此时点p的位置；若不能，请说明理由。
分析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强。
3、如图，梯形oabc中，o为直角坐标系的原点，a、b、c的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点p、q同时从原点出发，分别作匀速运动。其中点p沿oa向终点a运动，速度为每秒1个单位；点q沿oc、cb向终点b运动。
当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
1）设从出发起运动了秒，如果点q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点q在oc上或在cb上时的坐标（用含的代数式表示，不要求写出的取值范围）；
2）设从出发起运动了秒，如果点p与点q所经过的路程之和恰好为梯形oabc的周长的一半．
试用含的代数式表示这时点q所经过的路程和它的速度；
试问：这时直线pq是否可能同时把梯形oabc的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应5的的值和p、q的坐标；如不可能，请说明理由．
分析：本例是平面直角坐标系与方程、函数、不等式及几何型问题的综合题，解题关键是正确地用的代数式表示出点的坐标，特别注意直线pq同时把梯形oabc的面积也分成相等的两部分要分两类讨论．
4、如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠c＝90°，bc＝16，dc＝12，ad＝21。动点p从点d出发，沿射线da的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点q从点c出发，**段cb上以每秒1个单位长的速度向点b运动，点p，q分别从点d，c同时出发，当点q运动到点b时，点p随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
1）设△bpq的面积为s，求s与t之间的函数关系式；
2）当t为何值时，以b，p，q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
3）当线段pq与线段ab相交于点o，且2ao＝ob时，求∠bqp的正切值；
4）是否存在时刻t，使得pq⊥bd？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
5、已知：如图，△abc中，∠c＝90°，ac＝3厘米，cb＝4厘米．两个动点p、q分别从a、c两点同时按顺时针方向沿△abc的边运动．当点q运动到点a时，p、q两点运动即停止．点p、q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点p运动时间为（秒）．
1）当时间为何值时，以p、c、q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；
2）当点p、q运动时，阴影部分的形状随之变化．设pq与△abc围成阴影部分面积为s（厘米2），求出s与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
3）点p、q在运动的过程中，阴影部分面积s有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
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