（2012浙江义乌10分）在锐角△abc中，ab=4，bc=5，∠acb=45°，将△abc绕点b按逆时针方向旋转，得到△a1bc1．
1）如图1，当点c1**段ca的延长线上时，求∠cc1a1的度数；
2）如图2，连接aa1，cc1．若△aba1的面积为4，求△cbc1的面积；
3）如图3，点e为线段ab中点，点p是线段ac上的动点，在△abc绕点b按逆时针方向旋转过程中，点p的对应点是点p1，求线段ep1长度的最大值与最小值．
答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠a1c1b=∠acb=45°，bc=bc1，∴∠cc1b=∠c1cb=45°。
∠cc1a1=∠cc1b+∠a1c1b=45°+45°=90°。
2）∵由旋转的性质可得：△abc≌△a1bc1，ba=ba1，bc=bc1，∠abc=∠a1bc1。
，∠abc+∠abc1=∠a1bc1+∠abc1。∴∠aba1=∠cbc1。
△aba1∽△cbc1。∴
s△aba1=4，∴s△cbc1= 。
△abc为锐角三角形，∴点d**段ac上。
在rt△bcd中，bd=bc×sin45°=
如图1，当p在ac上运动至垂足点d，△abc绕点b旋转，使点p的对应点p1**段ab上时，ep1最小。
最小值为：ep1=bp1﹣be=bd﹣be= ﹣2。
如图2，当p在ac上运动至点c，△abc绕点b旋转，使点p的对应点p1**段ab的延长线上时，ep1最大。
最大值为：ep1=bc+be=5+2=7。
考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
分析】（1）由旋转的性质可得：∠a1c1b=∠acb=45°，bc=bc1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠cc1a1的度数。
2）由旋转的性质可得：△abc≌△a1bc1，易证得△aba1∽△cbc1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△cbc1的面积。
3）由①当p在ac上运动至垂足点d，△abc绕点b旋转，使点p的对应点p1**段ab上时，ep1最小；②当p在ac上运动至点c，△abc绕点b旋转，使点p的对应点p1**段ab的延长线上时，ep1最大，即可求得线段ep1长度的最大值与最小值。
2012徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆ab的高度，小亮在操场上点c处直立高3m的竹竿cd，然后退到点e处，此时恰好看到竹竿顶端d与电线杆顶端b重合；小亮又在点c1处直立高3m的竹竿c1d1，然后退到点e1处，此时恰好看到竹竿顶端d1与电线杆顶端b重合．小亮的眼睛离地面高度ef=1.5m，量得ce=2m，ec1=6m，c1e1=3m．
1）△fdm∽△
△f1d1n∽△
2）求电线杆ab的高度．
2012仙桃天门潜江江汉）△abc中，ab=ac，d为bc的中点，以d为顶点作∠mdn=∠b．
1）如图（1）当射线dn经过点a时，dm交ac边于点e，不添加辅助线，写出图中所有与△ade相似的三角形．
2）如图（2），将∠mdn绕点d沿逆时针方向旋转，dm，dn分别交线段ac，ab于e，f点（点e与点a不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
3）在图（2）中，若ab=ac=10，bc=12，当△def的面积等于△abc的面积的
时，求线段ef的长．
解：（1）图（1）中与△ade相似的有△abd，△acd，△dce。
2）△bdf∽△ced∽△def，证明如下：
∠b+∠bdf+∠bfd=180°，∠edf+∠bdf+∠cde=180°，又∵∠edf=∠b，∴∠bfd=∠cde。
ab=ac，∴∠b=∠c。∴△bdf∽△ced。∴
bd=cd，∴ 即 。
又∵∠c=∠edf，∴△ced∽△def。∴△bdf∽△ced∽△def。
3）连接ad，过d点作dg⊥ef，dh⊥bf，垂足分别为g，h．
ab=ac，d是bc的中点，∴ad⊥bc，bd= bc=6。
在rt△abd中，ad2=ab2﹣bd2，即ad2=102﹣62，ad=8。
s△abc= bcad= ×12×8=48，s△def= s△abc= ×48=12。
又∵ adbd= abdh，∴
△bdf∽△def，∴∠dfb=∠efd。
dh⊥bf，dg⊥ef，∴∠dhf=∠dgf。
又∵df=df，∴△dhf≌△dgf（aas）。∴dh=dg= 。
s△def= efdg= ef =12，∴ef=5。
2012武汉）已知△abc中，ab=2
ac=4 bc=6
1）如图1，点m为ab的中点，**段ac上取点n，使△amn与△abc相似，求线段mn的长；
2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
请你在所给的网格中画出格点△a1b1c1与△abc全等（画出一个即可，不需证明）
试直接写出所给的网格中与△abc相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．
解：（1）①△amn∽△abc，m为ab中点，ab=2
am=bc=6，mn=3；
△amn∽△acb，bc=6，ac=4
am=mn=1.5；
2）①如图所示：
每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．
2012天水）如图所示的一张矩形纸片abcd（ad＞ab），将纸片折叠一次，使点a与c重合，再展开，折痕ef交ad边于点e，交bc边于点f，交ac于点o，分别连接af和ce．
1）求证：四边形afce是菱形；
2）过e点作ad的垂线ep交ac于点p，求证：2ae2=acap；
3）若ae=10cm，△abf的面积为24cm2，求△abf的周长．
1）证明：当顶点a与c重合时，折痕ef垂直平分ac，oa=oc，∠aoe=∠cof=90°，在矩形abcd中，ad∥bc，∠eao=∠fco，在△aoe和△cof中。
△aoe≌△cof（aas），oe=of，oa=oc，四边形afce是平行四边形，ef⊥ac，平行四边形afce是菱形．
2）证明：∵∠aep=∠aoe=90°，∠eao=∠eap，△aoe∽△aep，即ae2=aoap，ao=
ac，ae2=
acap，2ae2=acap．
3）解：设ab=xcm，bf=ycm．
由（1）四边形afce是菱形，af=ae=10cm．
∠b=90°，x2+y2=100．
（x+y）2-2xy=100①．
△abf的面积为24cm2，xy=24．即xy=48②．
由①、②得（x+y）2=196．
x+y=14或x+y=-14（不合题意，舍去）．
△abf的周长为：x+y+af=14+10=24（cm）．
（2012黄石）如图1所示：等边△abc中，线段ad为其内角角平分线，过d点的直线b1c1⊥ac于c1交ab的延长线于b1．
1）请你**：
是否都成立？
2）请你继续**：若△abc为任意三角形，线段ad为其内角角平分线，请问
一定成立吗？并证明你的判断．
3）如图2所示rt△abc中，∠acb=90，ac=8，ab=
e为ab上一点且ae=5，ce交其内角角平分线ad于f．试求 的值．解：
1）易验证 ,
这两个等式都成立2分。
(2)可以判断结论仍然成立，证明如下1分。
如右图所示δabc为任意三角形，过b点作be∥ac交。
ad的延长线于e点。
∠e=∠cad=∠bad
be=ab又∵δebd∽δacd1分。
又∵be=ab
即对任意三角形结论仍然成立1分。
3﹚如图（11）所示，连结ed
ad为δabc的内角角平分线。分。而分。
, de∥ac
δdef∽δacf分。
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