习题1-1
8. 设，，试就以下三种情况分别求：
解：9. 已知，，求事件全不发生的概率。
解： 11. 设一批产品共100件，其中98件**，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；
2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：一次拿3件：
每次拿一件，取后放回，拿3次：
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
习题1-23. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统i和ii。两种报警系统单独使用时，系统i和ii有效的概率分别0.
92和0.93，在系统i失灵的条件下，系统ii仍有效的概率为0.85，求。
1） 两种报警系统i和ii都有效的概率；
2） 系统ii失灵而系统i有效的概率；
3） 在系统ii失灵的条件下，系统i仍有效的概率。
解：令“系统（ⅰ）有效” ，系统（ⅱ）有效”则。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么。
令表示最多有一台机床需要工人照顾，那么。
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：令“被检验者患有肝癌”， 用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
解：令“5件中有件优质品”，
16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.
5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.
2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
解：令“恰有次击中飞机”，
飞机被击落”
显然：而，，，
所以； 习题1-3
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程**现废品时立即进行调整，x代表在两次调整之间生产的合格品数，试求。
（1）的概率分布； （2）。解：
10. 已知的概率分布为：
试求（1）； 2）的概率分布。解：
12. 设连续型随机变量的概率密度为。
试确定常数并求。
解：令，即。
即。16. 设随机变量服从[1,5]上的均匀分布，试求。 如果。
解：的概率密度为。
习题1-42. 设连续型随机变量的分布函数为。
试求：（1）的概率分布； （2）.解：（1）
5. 设连续型随机变量的分布函数为。
试求：（1）的值； （2）； 3）概率密度函数。解：
又。6. 设为连续型随机变量，其分布函数为。
试确定中的的值。解： 又。
又。又即。
8. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生**的次数服从参数为的poisson(泊松)分布，表示连续两次**之间相隔的时间（单位：年），试求：
（1）证明服从指数分布并求出的分布函数；
（2）今后3年内再次发生**的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生**的概率。
解：1） 当时，
当时， 服从指数分布（）
习题3-13.设的概率分布为：
且，求和的值。
解：显然。又。
5.设连续型随机变量的概率密度为。
其中。 又已知，求的值。解： 即。
即。6.设连续型随机变量的概率密度为。
试求和。解：
习题4-14. 设在总体抽取一个容量为16的样本，这里均未知，求。
解： 因为，此处n=16, 所以。
查自由度为15的分布表得，，所以。
5. 设总体，为取自该总体的样本，已知，求：常数a.
解： 因为， n=10, σ4, 所以。
查自由度为9的分布表得， 所以a=26.105.
7. 设为取自总体的样本，求。
解：因为，所以。
查自由度为10的分布表得， =0.1
习题4-41、 取自正态总体， 容量为9的样本， 若得到样本均值为=5, 则未知参数的置信度为0.95的置信区间是。
解：因为， 故参数的置信度为0.95的置信区间是。
查标准正态分布分布表可知， =
2. 已知某种材料的抗压强度， 现随机地抽取10个试件进行抗压试验， 测得数据如下： 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.
(1) 求平均抗压强度的点估计值；
(2) 求平均抗压强度的95%的置信区间；
(3) 若已知=30, 求平均抗压强度的95%的置信区间；
(4) 求的点估计值；
(5) 求的95%的置信区间；
(6) 求的点估计值；
7)求的95%的置信区间。
解： (1) 0
2) 因为， 故参数的置信度为0.95的置信区间是：
经计算，s=35.276, n=10,查自由度为9的分位数表得， ,故。
3) 若已知=30, 则平均抗压强度的95%的置信区间为：
4) =s2=1240.28
5) 因为，所以的95%的置信区间为：
其中s2=1240.28, ,所以==
6) 由(4) s==35.276
7)由(5)的95%的置信区间为：
习题4-51. 已知总体服从瑞利分布， 其密度函数为：
未知参数》0,为取自该总体的样本。 求的矩估计量和最大似然估计量， 并问这两个估计量是不是无偏估计量？
解：ex===2
令，则。2===故ex=, 因此θ的矩估计量为。
ex2==,令，ex2===2θ
ee===≠θ,故不是θ的无偏估计量。
令l(θ;x1,x2,..xn当x1,x2,..xn>0时， l=,lnl=,
为θ的最大似然估计量。 e===所以是θ的无偏估计量。
3. 已知总体服从参数为的泊松分布， 其分布律为：
为取自总体的样本。 求 (1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量； (3)的无偏估计量。
解：(1)因为ex=dx=θ,而s2=, b2=都是dx的点估计，故， s2, b2都可作为θ的矩估计量。
2) l(θ;x1,x2,..xn)=
lnl=,令，=为θ的最大似然估计量。
3)e=e=e x=θ,e=es2=d x=θ,故=及=s2都是θ的无偏估计，e=eb2==,故不是θ的无偏估计。
习题5-23. 食品厂用自动装罐机装罐头食品， 每罐标准重量为500克， 每隔一定时间需要检验机器的工作情况， 现抽10罐， 测得其重量(单位： 克):
假设重量服从正态分布， 试问机器工作是否正常()?
解：h0：u=500.
采用统计量t=，否定域：|t|>,其中n=10, u0=500,经计算，|t|=,查自由度为9的t分布表知， =2.821, |t|<,故应接受原假设，即可以认为机器工作正常。
4. 某厂对废水进行处理， 要求某种有害物质的浓度不超过19(毫克/立升), 抽样检测得到10个数据， 其样本均值(毫克/立升), 样本方差=1.25(毫克/立升) 2.
问在显著性水平下能认为处理后的废水符合标准吗？
解：设废水的平均浓度为u ， h0：u≤19
采用统计量t=, 否定域： ,t>, 其中n=10, u0=19,t==1.4142, =1.833, 因此t<,所以接受原假设， 能认为处理后的废水符合标准。
5. 用过去的铸造方法， 零件强度服从正态分布， 其标准差为1.6千克/平方毫米。 为了降低成本， 改变了铸造方法， 测得用新方法铸出零件强度如下：
问改变方法后零件强度的方差是否发生了显著变化(取显著性水平)?
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