概率论与数理统计复习题1
一、单项选择题。
1. 对任何二事件a和b，有（ c ）.
ab. cd.
2. 设a、b是两个随机事件，若当b发生时a必发生，则一定有（ b ）.
ab. cd.
3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为，现已知目标被击中，则它是由甲命中的概率为（ c ）.
abcd.
4. 设随机变量x的概率分布为。
则a，b分别等于（ d ）.
a. b. c. d.
5. 设函数是某连续型随机变量x的概率密度，则区间可以是（ c ）.
a. b. c. d.
6. 设二维随机变量的分布律为。
7. 设随机变量x服从二项分布，则有（ d ）.
ab. cd.
8．已知随机变量，且，则的值为（b ）.
a. b. c. d.
9．设随机变量，则下式中不成立的是( b )
a. b. c. d.
10. 设x为随机变量，，则的值为（ a ）.
a．5bc. 1d. 3
11. 设随机变量x的密度函数为，且ex=0，则（ a ）.
a. b. c. d.
12. 设随机变量x服从参数为0.5的指数分布，则下列各项中正确的是（ b ）.
ab. cd.
13. 设为二维连续型随机变量，则x与y不相关的充分必要条件是（ c ）.
a. x与y相互独立b.
cd. 14. 设样本来自正态总体，已知，未知，则下列随机变量中不是统计量的是（ c ）.
ab. c. d.
15. 设总体未知，且为其样本，为样本均值，为样本标准差，则对于假设检验问题，，应选用的统计量为（ a ）.
a. b. c. d.
二、填空题。
1. 已知p（a）=0.8，p（a-b）=0.5，且a与b独立，则p（b）= 3/8 .
2. 设是两个事件，，当a, b互不相容时，p(b)=
___0.3___当a, b相互独立时，p(b)= 0.6
3. 设在试验中事件a发生的概率为p，现进行n次重复独立试验，那么事件a至少发生一次的概率为。
4. 一批产品共有10个**和2个次品，不放回地抽取2次，则第2次抽得次品的概率。
p= 1/6 .
5. 随机变量x的分布函数f(x)是事件 x 小于等于x的概率。
6. 若随机变量x ~，则x的密度函数为。
7.设随机变量x服从参数的指数分布，则x的密度函数分布函数f(x
8. 已知随机变量x只能取-1，0，1，2四个值，其相应的概率依次为，则c= 2 .
9. 设随机变量x的概率密度函数为，则＝ 1/2 .
10. 设随机变量x ~，且p（211. 设随机变量x～n（1，4），φ0.5）=0.6915，φ（1.5）=0.9332，则p= 0.3753 .
12. 设随机变量x服从二项分布b(1，p)，随机变量y服从二项分布b(2，p)，且，则 8/9 .
13. 设随机变量x ~，y ~，且x与y相互独立，则x+y分布。
14. 设随机变量x的数学期望ex和方差dx>0都存在，令，则 ；.
15. 若x服从区间[0，3]上的均匀分布，则＝ 3
16. 若x～b（5，0.1），则d（1-2x）= 1.8 .
17. 设随机变量x的概率密度，则，.
18. 设随机变量x与y相互独立，，则___44___
19. 设总体～，…为来自总体的样本，，则。
20. 设是未知参数的一个估计量，若，则称为的。
一个无偏估计量。
21. 设样本来自正态总体：，其中未知，要使估计量是的无偏估计量，则k
22. 设总体～，…为其样本，其中未知，则对假设检验问题，，在显著水平下，应取拒绝域w
三、计算题。
1. 设随机变量x与y独立，～，求随机变量函数的数学期望与方差。
解：;2. 设总体x的概率密度为。
其中为未知参数，如果取得样本观测值，求参数的极大似然估计。
解：因为的似然函数为，而，令，解得的最大似然估计为。
3. 一批产品的次品率为0.05，现作有放回抽样，共抽取100件，计算抽到次品件数不超过10件的概率。（）
解：设抽到次品件数为，则。用正态逼近法估计。
答：抽到次品件数不超过10件的概率。为0.9786.
四、证明题。
1. 设随机变量x服从标准正态分布，即x～，，证明：y的密度函数为。
证明：记，分段单调，在中反函数为，而在中反函数为，和，所以y的密度函数为。
有，即得证。
2. 设总体服从区间上的均匀分布，其中是未知参数，又…为来自总体的样本，为样本均值，证明：是参数的无偏估计。
证明：因为，=
因此是参数的无偏估计。
五、综合题。
1.设二维随机变量（x，y）的联合密度为 ，求：（1）关于x，y的边缘密度函数；（2）判断x，y是否独立；（3）求。
解：（1）x的边缘密度函数为，y的边缘密度函数为。
2）因为，所以x，y相互独立；
2. 设有36个电子器件，它们的使用寿命（小时）t，t，…，t都服从λ=0.1的指数分布，其使用情况是：
第一个损坏，第二个立即使用；第二个损坏，第三个立即使用等等。令t为36个电子器件使用的总时间，计算t超过420小时的概率。
解：因为，所以。
t超过420小时的概率为0.1587
3. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算，设所有的取整误差是相互独立的随机变量，并且都在区间上服从均匀分布，求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。
解：设这300个误差随机变为则且。
4. 设总体，是来自总体的样本，求。
解：， 又，相互独立，则。
5. 设总体，1） 抽取容量为36的样本，求样本均值在38与43之间的概率；
2） 抽取容量为64的样本，求的概率。
解：（1）因为，，所以。
故。2）因为，，所以。
故， 六、应用题。
1. 设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：，，求该校女生平均身高ex的95%的置信区间。（）
解：因为所求期望的置信度为的置信区间为，，所以有。
故该校女生平均身高ex的95%的置信区间为。
2. 设某厂生产的零件长度(单位：)，现从生产出的一批零件中随机抽取了16件，经测量并算得零件长度的平均值，标准差，如果未知，在显著水平下，是否可以认为该厂生产的零件的平均长度是2050?
解：依题意：，未知，要检验假设n=16,又因为，故拒绝不可以认为该厂生产的零件的平均长度是2050。
3. 某生产车间随机抽取9件同型号的产品进行直径测量，得到结果如下：
根据长期经验，该产品的直径服从正态分布，试求出该产品的直径的置信度为0.95的置信区间。()精确到小数点后三位)
解：由于已知，的置信区间。当，得1.96，，，的置信度为0.95的置信区间是，即。
复习题1答案
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