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考点31 数学归纳法。
解答题。1.(2014·广东高考理科)(14分)设数列的前n项和为sn,满足sn=2nan+1-3n2-4n,n∈n*,且s3=15.
1)求a1,a2,a3的值。
2)求数列的通项公式。
解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合s3=15列方程组求a1,a2,a3.
2)利用an=sn-sn-1(n≥2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明。
解析】(1)由已知得。
解得a1=3,a2=5,a3=7.
2)猜测an=2n+1.
由sn=2nan+1-3n2-4n得。
sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),当n≥2时，an=sn-sn-1,所以两式相减，整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(n∈n*);
因为当n=1时，a1=3,假设ak=2k+1成立，那么n=k+1时，ak+1=ak+= 2k+1)+=2k+3=2(k+1)+1,对于n∈n*,有an=2n+1,数列的通项公式为an=2n+1.
技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示，第(2)问用数学归纳法较为简便，且容易想到。若直接变形转化为等差(比)数列求解，则比较困难，可变形为(2n+1)[an+1-2(n+1)+1]=(2n+2)[an+2-2(n+2)+1],又a1-(2×1+1)=0an-(2n+1)=0,即an=2n+1.
2.（2014·安徽高考理科·ｔ21）设实数，整数，.
1）证明：当且时，；
2）数列满足，，证明：
解题提示】用数学归纳法证明不等式。
解析】（1）用数学归纳法证明。
当p=2时，，原不等式成立。
假设时，不等式成立，当p=k+1时，=，所以p=k+1时，原不等式成立。
综上可得，当且时，对一切整数p>1,不等式均成立。
2）设，并且。
由此可得上单调递增，因而，当时，。
当n=1时，由，即可知，并且，从而。
故当n=1时，不等式成立。
假设时，不等式成立，则当n=k+1时，成立，即，所以n=k+1时，原不等式也成立。
综合①②可得，对一切正整数n，，不等式均成立。
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高中数学公式及常用结论大全。
1. 元素与集合的关系。
2.德摩根公式
3.包含关系。
4.容斥原理。
5．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个。
6.二次函数的解析式的三种形式。
1)一般式；
2)顶点式；
3)零点式。
7.解连不等式常有以下转化形式。
8.方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件。特别地， 方程有且只有一个实根在内，等价，或且，或且。
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
1)当a>0时，若，则；，.
2)当a<0时，若，则，若，则，.
10.一元二次方程的实根分布。
依据：若，则方程在区间内至少有一个实根 .
设，则。1）方程在区间内有根的充要条件为或；
2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；
3）方程在区间内有根的充要条件为或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据。
1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是。
2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是。
3)恒成立的充要条件是或。
12.真值表
13.常见结论的否定形式。
14.四种命题的相互关系。
原命题互逆逆命题。
若ｐ则若ｑ则ｐ
互互。互为为互。
否否。逆逆。
否否。否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆若非ｑ则非ｐ
15.充要条件。
1）充分条件：若，则是充分条件。
2）必要条件：若，则是必要条件。
3）充要条件：若，且，则是充要条件。
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。
16.函数的单调性。
1)设那么。
上是增函数；
上是减函数。
2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。
17.如果函数和都是减函数，则在公共定义域内，和函数也是减函数； 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数是增函数。
18．奇偶函数的图象特征。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则。
20.对于函数(),恒成立，则函数的对称轴是函数；两个函数与的图象关于直线对称。
21.若，则函数的图象关于点对称； 若，则函数为周期为的周期函数。
22．多项式函数的奇偶性。
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零。
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零。
23.函数的图象的对称性。
1)函数的图象关于直线对称。
2)函数图象关于直线对称。
24.两个函数图象的对称性。
1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称。
2)函数与函数的图象关于直线对称。
3)函数和的图象关于直线y=x对称。
25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象。
26．互为反函数的两个函数的关系。
27.若函数存在反函数，则其反函数为，并不是，而函数是的反函数。
28.几个常见的函数方程。
1)正比例函数，.
2)指数函数，.
3)对数函数，.
4)幂函数，.
5)余弦函数，正弦函数，
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
1），则的周期t=a；
2），或，或，或，则的周期t=2a；
3)，则的周期t=3a；
4)且，则的周期t=4a；
则的周期t=5a；
6)，则的周期t=6a.
30.分数指数幂
1)（，且）.
2)（，且）.
31．根式的性质。
2）当为奇数时，；当为偶数时，.
32．有理指数幂的运算性质。
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
33.指数式与对数式的互化式。
34.对数的换底公式
(,且，且， )
推论 (,且，且，
35．对数的四则运算法则。
若a＞0，a≠1，m＞0，n＞0，则。
36.设函数，记。若的定义域为，则，且；若的值域为，则，且。对于的情形，需要单独检验。
37. 对数换底不等式及其推广。
若，则函数。
1)当时，在和上为增函数。
2)当时，在和上为减函数。
推论：设，，，且，则。
38. 平均增长率的问题。
如果原来产值的基础数为n，平均增长率为，则对于时间的总产值，有。
39.数列的同项公式与前n项的和的关系。
数列的前n项的和为).
40.等差数列的通项公式。
其前n项和公式为。
41.等比数列的通项公式。
其前n项的和公式为或。
42.等比差数列：的通项公式为；
其前n项和公式为。
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款元(贷款元，次还清，每期利率为).
44．常见三角不等式。
1)若，则。
2) 若，则。
45.同角三角函数的基本关系式
46.正弦、余弦的诱导公式。
47.和角与差角公式。
平方正弦公式);
(辅助角所在象限由点的象限决定， )
48.二倍角公式
49. 三倍角公式
50.三角函数的周期公式
函数，x∈r及函数，x∈r(a,ω,为常数，且a≠0，ω＞0)的周期；函数，(a,ω,为常数，且a≠0，ω＞0)的周期。
51.正弦定理。
52.余弦定理。
53.面积定理。
1)（分别表示a、b、c边上的高）.
54.三角形内角和定理
在△abc中，有。
55. 简单的三角方程的通解。
特别地，有。
56.最简单的三角不等式及其解集。
57.实数与向量的积的运算律。
设λ、μ为实数，那么。
1) 结合律：λ(a)=(a;
2)第一分配律：(λa=λa+μa;
3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
1) a·b= b·a （交换律）;
2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示。
设a=,b=，且b0，则ab(b0).
与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．
a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算。
1)设a=,b=，则a+b=.
2)设a=,b=，则a-b=.
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