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考点29 数学归纳法。
解答题。1. (2015·江苏高考·t23)已知集合x=,yn=(n∈n*),设sn=,令f(n)表示集合sn所含元素个数。
1)写出f(6)的值。
2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。
解题指南】(1)根据题意按a分类计数：a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共13个。
2)由(1)知，a=1,b=1,2,3,…,n;a=2,b=1,2,4,6,…,2k;a=3,b=1,3,6,9,…,3k(k∈n*).所以当n≥6时，f(n)的表达式要按2×3=6除的余数进行分类，然后利用数学归纳法进行证明。
解析】(1)f(6)=13.
2)当n≥6时，f(n)= t∈n*)
下面用数学归纳法证明：
当n=6时，f(6)=6+2++=13,结论成立；
假设n=k(k≥6)时结论成立，那么n=k+1时，sk+1在sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生，分以下情况讨论：
1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3=(k+1)+2++,结论成立。
2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立。
3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立。
4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+，结论成立。
5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立。
6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立。
综上所述，结论对n≥6的自然数n均成立。
2. (2015·北京高考理科·t20)(13分) 已知数列满足： ，且 ，记集合。
1）若 ，写出集合m的所有元素；
2）若集合m存在一个元素是3的倍数。证明：m的所有元素都是3的倍数；
3）求集合m的元素个数的最大值。
解题指南】(1)直接代入定义求解。
2)(3)可用归纳推理证明的方法求解。
解析】(1)a1=6,a2=12,a3=24,a4=2×24-36=12,所以m=.
2)因为集合m存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数。
如果k=1,则m的所有元素都是3的倍数。
如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数，于是ak-1是3的倍数，类似可得ak-2,…,a1都是3的倍数，从而对任意n≥1,an是3的倍数，因此m的所有元素都是3的倍数。
综上，若集合m存在一个元素是3的倍数，则m的所有元素都是3的倍数。
3)由a1≤36,
可归纳证明an≤36(n=2,3,…)
因为a1是正整数，a2= 所以a2是2的倍数，从而当n≥3时，an是4的倍数，如果a1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数，因此当n≥3时，an∈,这时m的元素个数不超过5,如果a1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数，因此当n≥3时，an∈,这时m的元素个数不超过8,当a1=1时，m=有8个元素。
综上可知，集合m的元素个数的最大值为8.
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高中数学公式及常用结论大全。
1. 元素与集合的关系。
2.德摩根公式
3.包含关系。
4.容斥原理。
5．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个。
6.二次函数的解析式的三种形式。
1)一般式；
2)顶点式；
3)零点式。
7.解连不等式常有以下转化形式。
8.方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件。特别地， 方程有且只有一个实根在内，等价，或且，或且。
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
1)当a>0时，若，则；，.
2)当a<0时，若，则，若，则，.
10.一元二次方程的实根分布。
依据：若，则方程在区间内至少有一个实根 .
设，则。1）方程在区间内有根的充要条件为或；
2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；
3）方程在区间内有根的充要条件为或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据。
1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是。
2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是。
3)恒成立的充要条件是或。
12.真值表
13.常见结论的否定形式。
14.四种命题的相互关系。
原命题互逆逆命题。
若ｐ则若ｑ则ｐ
互互。互为为互。
否否。逆逆。
否否。否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆若非ｑ则非ｐ
15.充要条件。
1）充分条件：若，则是充分条件。
2）必要条件：若，则是必要条件。
3）充要条件：若，且，则是充要条件。
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。
16.函数的单调性。
1)设那么。
上是增函数；
上是减函数。
2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。
17.如果函数和都是减函数，则在公共定义域内，和函数也是减函数； 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数是增函数。
18．奇偶函数的图象特征。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则。
20.对于函数(),恒成立，则函数的对称轴是函数；两个函数与的图象关于直线对称。
21.若，则函数的图象关于点对称； 若，则函数为周期为的周期函数。
22．多项式函数的奇偶性。
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零。
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零。
23.函数的图象的对称性。
1)函数的图象关于直线对称。
2)函数图象关于直线对称。
24.两个函数图象的对称性。
1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称。
2)函数与函数的图象关于直线对称。
3)函数和的图象关于直线y=x对称。
25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象。
26．互为反函数的两个函数的关系。
27.若函数存在反函数，则其反函数为，并不是，而函数是的反函数。
28.几个常见的函数方程。
1)正比例函数，.
2)指数函数，.
3)对数函数，.
4)幂函数，.
5)余弦函数，正弦函数，
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
1），则的周期t=a；
2），或，或，或，则的周期t=2a；
3)，则的周期t=3a；
4)且，则的周期t=4a；
则的周期t=5a；
6)，则的周期t=6a.
30.分数指数幂
1)（，且）.
2)（，且）.
31．根式的性质。
2）当为奇数时，；当为偶数时，.
32．有理指数幂的运算性质。
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
33.指数式与对数式的互化式。
34.对数的换底公式
(,且，且， )
推论 (,且，且，
35．对数的四则运算法则。
若a＞0，a≠1，m＞0，n＞0，则。
36.设函数，记。若的定义域为，则，且；若的值域为，则，且。对于的情形，需要单独检验。
37. 对数换底不等式及其推广。
若，则函数。
1)当时，在和上为增函数。
2)当时，在和上为减函数。
推论：设，，，且，则。
38. 平均增长率的问题。
如果原来产值的基础数为n，平均增长率为，则对于时间的总产值，有。
39.数列的同项公式与前n项的和的关系。
数列的前n项的和为).
40.等差数列的通项公式。
其前n项和公式为。
41.等比数列的通项公式。
其前n项的和公式为或。
42.等比差数列：的通项公式为；
其前n项和公式为。
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款元(贷款元，次还清，每期利率为).
44．常见三角不等式。
1)若，则。
2) 若，则。
45.同角三角函数的基本关系式
46.正弦、余弦的诱导公式。
47.和角与差角公式。
平方正弦公式);
(辅助角所在象限由点的象限决定， )
48.二倍角公式
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