高考数学考点29数学归纳法

高中数学学习材料。

金戈铁骑整理制作。

考点29 数学归纳法。

解答题。1. (2015·江苏高考·t23)已知集合x=,yn=(n∈n*),设sn=,令f(n)表示集合sn所含元素个数。

1)写出f(6)的值。

2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。

解题指南】(1)根据题意按a分类计数：a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共13个。

2)由(1)知，a=1,b=1,2,3,…,n;a=2,b=1,2,4,6,…,2k;a=3,b=1,3,6,9,…,3k(k∈n*).所以当n≥6时，f(n)的表达式要按2×3=6除的余数进行分类，然后利用数学归纳法进行证明。

解析】(1)f(6)=13.

2)当n≥6时，f(n)= t∈n*)

下面用数学归纳法证明：

当n=6时，f(6)=6+2++=13,结论成立；

假设n=k(k≥6)时结论成立，那么n=k+1时，sk+1在sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生，分以下情况讨论：

1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3=(k+1)+2++,结论成立。

2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立。

3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立。

4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+，结论成立。

5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立。

6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立。

综上所述，结论对n≥6的自然数n均成立。

2. (2015·北京高考理科·t20)(13分) 已知数列满足：，且，记集合。

1）若，写出集合m的所有元素；

2）若集合m存在一个元素是3的倍数。证明：m的所有元素都是3的倍数；

3）求集合m的元素个数的最大值。

解题指南】(1)直接代入定义求解。

2)(3)可用归纳推理证明的方法求解。

解析】(1)a1=6,a2=12,a3=24,a4=2×24-36=12,所以m=.

2)因为集合m存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数。

如果k=1,则m的所有元素都是3的倍数。

如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数，于是ak-1是3的倍数，类似可得ak-2,…,a1都是3的倍数，从而对任意n≥1,an是3的倍数，因此m的所有元素都是3的倍数。

综上，若集合m存在一个元素是3的倍数，则m的所有元素都是3的倍数。

3)由a1≤36,

可归纳证明an≤36(n=2,3,…)

因为a1是正整数，a2= 所以a2是2的倍数，从而当n≥3时，an是4的倍数，如果a1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数，因此当n≥3时，an∈,这时m的元素个数不超过5,如果a1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数，因此当n≥3时，an∈,这时m的元素个数不超过8,当a1=1时，m=有8个元素。

综上可知，集合m的元素个数的最大值为8.

关闭word文档返回原板块。

高考数学考点29数学归纳法

高考数学考点29数学归纳法

高考数学考点31数学归纳法

2019高考数学考点31数学归纳法

其他用户还读了