2019高考数学考点31数学归纳法

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考点31 数学归纳法。

解答题。1.(2014·广东高考理科)(14分)设数列的前n项和为sn,满足sn=2nan+1-3n2-4n,n∈n*,且s3=15.

1)求a1,a2,a3的值。

2)求数列的通项公式。

解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合s3=15列方程组求a1,a2,a3.

2)利用an=sn-sn-1(n≥2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明。

解析】(1)由已知得。

解得a1=3,a2=5,a3=7.

2)猜测an=2n+1.

由sn=2nan+1-3n2-4n得。

sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),当n≥2时，an=sn-sn-1,所以两式相减，整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,[**：学科网zxxk]

an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(n∈n*);

因为当n=1时，a1=3,假设ak=2k+1成立，那么n=k+1时，ak+1=ak+= 2k+1)+ 2k+3=2(k+1)+1,对于n∈n*,有an=2n+1,数列的通项公式为an=2n+1.[**。

技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示，第(2)问用数学归纳法较为简便，且容易想到。若直接变形转化为等差(比)数列求解，则比较困难，可变形为(2n+1)[an+1-2(n+1)+1]=(2n+2)[an+2-2(n+2)+1],又a1-(2×1+1)=0an-(2n+1)=0,即an=2n+1.

2.（2014·安徽高考理科·ｔ21）设实数，整数，.

1）证明：当且时，；

2）数列满足，，证明：

解题提示】用数学归纳法证明不等式。

解析】（1）用数学归纳法证明。

当p=2时，，原不等式成立。

假设时，不等式成立，当p=k+1时， =所以p=k+1时，原不等式成立。

综上可得，当且时，对一切整数p>1,不等式均成立。

2）设，并且。

由此可得上单调递增，因而，当时，。

当n=1时，由，即可知[**：学科网]，并且，[**：学§科§网z§x§x§k]

从而。故当n=1时，不等式成立。

假设时，不等式成立，则当n=k+1时，成立，即，所以n=k+1时，原不等式也成立。

综合可得，对一切正整数n，，不等式均成立。[**：学科网]

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