2023年春季学期20141371/2
高等代数》期末考试试卷（a卷）
注意：1、本试卷共 3 页2、考试时间120分钟。
3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名。
一、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1、向量组线性相关的充要条件是( d ).
a.向量组中存在零向量。
b.任何非空部份组都线性相关。
c.向量组中每一个向量都是该向量的线性组合。
d.向量组中至少一一个向量是其余向量的线性组合。
2、五元齐次线性方程组的解空间的维数是( d ).
a.5 b.1 c.3 d.4
3、=(下列变换是线性变换的是( d )
ab. (cd. (
4. l(v), 是的分别属于特征值，的特征向量，且，则( c )也是的特征向量。
ab. -cd.
5、设，下列定义的可使成为欧氏空间的是( b ).
ab. cd.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 当0 时，线性相关。
2、数域p上的维线性空间v的三组基分别为ⅰ，ⅱ到ⅲ的过度矩阵为a，ⅱ到ⅲ的过渡矩阵为b，则ⅰ到ⅱ的过渡矩阵为。
3、，则(0，1，0，)=在=(1,0,0), 0,1,0), 0,0,1)下的矩阵为。
4、欧氏空间的对称变换的特征值是实数。
5、中定义的内积为。
则的长度是 .
三、判断题，正确的打√，错误的打×（共5小题，每小题2分，共10分）
1、每个线性空间都含有零向量。
2、如果存在使得，那么向量组线性相关。 (
3. 线性变换将线性无关向量组变成线性无关向量组。
4、若是n维欧氏空间v的子空间，则是唯一的。
5、欧氏空间中线性无关的向量组都是正交向量组。
四、计算（每小题9分，共18分）
1、是数域p上一个3维线性空间，是它的一组基，是上一个线性函数，已知，，，求。
解由假设得，由此可以解得，
2、设是线性空间的一组基，是它的对偶基，. 试证是的一组基，并求它的对偶基（用表出）。
解设，其中，因为，因此线性无关，从而为的一组基。设为的对偶基。那么。
即，，.五、(12分) 在中，求由齐次方程组确定的解空间的基与维数。
解 ，所以该解空间的维数是2，它的一组基为，
六、（共2小题，共16分）
1、（6分）如果可逆，证明：与相似。
证因为可逆，故存在，从而，所以与相似。
2、（10分）设是一维欧式空间，是中一固定向量。
1）证明：是的一子空间。
2）证明：的维数等于。
证 1）由于，所以非空。再证对两种运算封闭。，即，那么，从而。 另外，所以。 从而是的一个子空间。
2）由于是线性无关的，将它扩充成的一组正交基为，这时，因为（），所以（）.只要证明任意，都可由线性表出，那么的维数就是。 实际上，1）
那么，但是，（）所以，由于，所以，代入式（1），即有，由的任意性，。。得证。
七、（14分）求正交矩阵使成对角形，其中为。
解按三步法计算。 ，特征值为，，；
对应的特征向量为，，.
化为标准正交基，,.
所以，使。
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