2019专升本插班生《高等代数》试卷

发布 2022-01-08 09:41:28 阅读 5028

韩山师范学院2023年专升本插班生考试试题。

数学与应用数学专业高等代数考试 (a卷)

一、选择题(每小题3分,共12分)

1. 设a、b都是n阶方阵,则下列结论正确的是 (

a)若a不可逆或b不可逆,必有ab不可逆。

b)若a可逆或b可逆,必有ab可逆。

c)若a、b都可逆,必有a+b可逆。

d)若a、b都不可逆,必有a+b不可逆。

2. 设为向量空间v的线性变换,是的不同本征值,α1 , 2 ,…n与β1 , 2 ,…n分别是的属于的线性无关的本征向量,则下列结论正确的是。

a)α1+β1 , 2 +β2,…,n+βn线性无关。

b)α1+β1 , 2 +β2,…,n+βn线性相关。

c)α1 , 2 ,…n, β1, β2 ,…n线性无关。

d)α1 , 2 ,…n, β1, β2 ,…n线性相关。

3.数域f上的不可约多项式在数域f内一定没有根,这个结论 (

a)当f为复数域时成立b)当f为实数域时成立

c)当f为有理数域时成立 (d)f为任何数域都不成立。

4. 在欧氏空间c[0, 2]中,向量x2的长度等于 (

a) (b) (c) (d)

二、判断题(每小题2分,共16分。你认为正确的,在题后圆括号内打“√”错误的打“×”

1. 两个数域的交是一个数域。

2. 三次的实系数多项式一定有实根。

3. 映射f : a→b有逆映射的充要条件为f是单射。

4. 设a是4阶方阵,那么 det ( a ) det a

5. 如果矩阵a与矩阵 b有相同的特征根,那么a与b相似。

6. 在欧氏空间v中,如果,那么。

7. 设a是向量空间v的一个基到另一个基的过渡矩阵, 那么a一定是正交矩阵。 (

8. 设多项式在有理数域上没有重因式,那么在复数域内不会有重根。 (

三、填空题(把答案填在题中横线上。每小题3分,共24分)

1. 数域f上两个n元二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵。

2. 复数域c作为自身的向量空间, 维数是。

3. 设n元排列的反序数为k,则排列的反序数。

4. 若一个系数矩阵秩为r的线性方程组无解,则它的增广矩阵的秩= 。

5. r3的向量(4,12,6)关于基(-2,1,3),(1,0,1),(2,-5,-1)的坐标为。

6.二次型的矩阵a =

7. 行列式。

8. f2[x]中,线性变换关于基的矩阵a =

四、(8分)求线性方程组的一般解:

五、(8分)矩阵是否可以对角化?如果可以对角化,求出可逆矩阵t,使t -1at为对角矩阵。

六、(8分)设f : a→b, g : b→c是映射,又令h =.证明:如果h是满射,那么g也是满射。

七、(8分)设数域f上向量空间v的向量组线性无关,向量β1可由α1 , 2 , 3线性表示,而β2不能由α1 , 2 , 3线性表示。证明:,向量组线性无关。

八、(8分)设是数域f上不全为零的多项式,且。

证明: 九、(8分)设a为m× n矩阵, b为n×m矩阵,且ab可逆。证明:

秩a = 秩b = m.

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