韩山师范学院2023年专升本插班生考试试题。
数学与应用数学专业高等代数考试 （a卷）
一、选择题（每小题3分，共12分）
1. 设a、b都是n阶方阵，则下列结论正确的是 (
a）若a不可逆或b不可逆，必有ab不可逆。
b）若a可逆或b可逆，必有ab可逆。
c）若a、b都可逆，必有a+b可逆。
d）若a、b都不可逆，必有a+b不可逆。
2. 设为向量空间v的线性变换，是的不同本征值，α1 , 2 ,…n与β1 , 2 ,…n分别是的属于的线性无关的本征向量，则下列结论正确的是。
a）α1+β1 , 2 +β2,…,n+βn线性无关。
b）α1+β1 , 2 +β2,…,n+βn线性相关。
c）α1 , 2 ,…n, β1, β2 ,…n线性无关。
d）α1 , 2 ,…n, β1, β2 ,…n线性相关。
3．数域f上的不可约多项式在数域f内一定没有根，这个结论 (
a）当f为复数域时成立b）当f为实数域时成立
c）当f为有理数域时成立 （d）f为任何数域都不成立。
4. 在欧氏空间c[0, 2]中，向量x2的长度等于 (
a） （b） （c） （d）
二、判断题（每小题2分，共16分。你认为正确的，在题后圆括号内打“√”错误的打“×”
1. 两个数域的交是一个数域。
2. 三次的实系数多项式一定有实根。
3. 映射f : a→b有逆映射的充要条件为f是单射。
4. 设a是4阶方阵，那么 det ( a ) det a
5. 如果矩阵a与矩阵 b有相同的特征根，那么a与b相似。
6. 在欧氏空间v中，如果，那么。
7. 设a是向量空间v的一个基到另一个基的过渡矩阵， 那么a一定是正交矩阵。 (
8. 设多项式在有理数域上没有重因式，那么在复数域内不会有重根。 (
三、填空题（把答案填在题中横线上。每小题3分，共24分）
1. 数域f上两个n元二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵。
2. 复数域c作为自身的向量空间， 维数是。
3. 设n元排列的反序数为k，则排列的反序数。
4. 若一个系数矩阵秩为r的线性方程组无解，则它的增广矩阵的秩= 。
5. r3的向量（4，12，6）关于基（-2，1，3），（1，0，1），（2，-5，-1）的坐标为。
6.二次型的矩阵a =
7. 行列式。
8. f2[x]中，线性变换关于基的矩阵a =
四、（8分）求线性方程组的一般解：
五、（8分）矩阵是否可以对角化？如果可以对角化，求出可逆矩阵t，使t -1at为对角矩阵。
六、（8分）设f : a→b, g : b→c是映射，又令h =.证明：如果h是满射，那么g也是满射。
七、（8分）设数域f上向量空间v的向量组线性无关，向量β1可由α1 , 2 , 3线性表示，而β2不能由α1 , 2 , 3线性表示。证明：，向量组线性无关。
八、（8分）设是数域f上不全为零的多项式，且。
证明： 九、（8分）设a为m× n矩阵， b为n×m矩阵，且ab可逆。证明：
秩a = 秩b = m.
2019专升本插班生《高等代数》试卷
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韩山师范学院2012年专升本插班生考试。数学与应用数学专业高等代数试卷 a卷 一 是非题 每题2分，共20分。你认为正确的，在题后括号内打 错误的打 1 如果s是一个数环，则0s 2 设a,b,ab都是n阶对称矩阵，那么ab可交换。3 设a b都是n阶方阵，deta detb，则a b 4 如果矩阵...