第一章。
1 教材习题1.4(2) 第2题。
2 教材习题1.5 第4(2)题。
解：由原题可知，本行列式除对角线上的元素外，其余元素都为零，故此行列式的代数余子式之和等于对角线上元素的代数余子式之和，即：
3. 教材习题1.6 第1（3）题。
4．教材习题1.6 第6题。
5 复习题1 第4题。
6 复习题1第6题。
d=复习题1 第7题。
第二章 、 线性方程组
1,教材习题2.1 第1(4)题。
解：方程组的系数行列式
2.教材习题2.2(1) 第1(1)题。
解：对方程组的增广矩阵进行初行变换：
教材习题2.5(2) 第3题。
教材习题2.5(2) 第5题。
教材习题2.5(3)第4题。
证：因是的部分组，当然可以由线性表出。
又知每个向量都可由线形表出，故与等价，所以它们有相同的秩。
由此可知，向量组的秩等于它所含的向量个数，所以，线性无关。由于线性无关，而且中每个向量都可由它们线性表出，按定义，它们是中的一个极大线性无关组。
教材习题2.5(3)第6题。
证：设与有相同的秩，即。
取的一个极大线性无关组。但因为是的部分组，也是，的线性无关不分组。
在向量组中任取一个向量a,则，a线性相关（否则，若它们线性无关，就与的秩为相矛盾 ），从而有不全为0的数。
线性表出。于是是再的线性无关部分组，中的任意一个向量又可由它们线性表出，则是的极大线性无关组。故。
与等价。但也是的极大线性无关组，它们也是等价的，那么由等价关系的传递性知：与也等价。
教材习题2.7(1)第3题。
解：此齐次方程组有3个未知量，3个方程，它有非零解的充要条件是系统数行列式等于0。现计算其系数行列式。
d=当或时，齐次方程组有非零解。
时，齐次方程组为。
系数矩阵。通解方程组为：
一般解为。时，齐次方程组为。
系数矩阵。一般解为
教材习题2.7(2)第1（2）题。
解：对齐次方程组的系数矩阵进行初等行变换：
同解方程组。
一般解： 取。取。取。
教材习题2.7(3)第2题。
证明：此式正是下列n阶行列式对第1行的展开式，于是有。
因上述n阶行列式的第1, 第2行相同，故此行列式=0)
将代入方程组的第个(=1,2, ,n-1)方程，得。
故是齐次性方程组的一个解。
2)因系数矩阵a的秩为n-1,故齐次方程组的基础解系所含独立解得个数为n-(n-1)=1
由。是齐次方程组的一个非零解，它线性无关，因而是齐次方程组的一个基础解系。所以，齐次方程组的任何解均可表为k,即是的倍数。
复习题2 第1（1）题。
解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换。
于是， n=53=2,则方程组的导出组的基础解系有两个独立解。原方程组的同解方程组；
取。导出组的一般解为。
取分别为（1，0），（0，1）得导出组的基础解系：
故方程组的全部解为
复习题2 第2（1）题。
解：此线性方程组的未知个数=方程个数=3
考察其系数行列式。
复习题2 第10题。
证：设两个向量组与有相同的秩，且可由线性表出。
取的极大线性无关组。
取的极大线性无关组。
因与等价，与等价。由题设可由线性表出，则可由线性表出。
由于是的一个极大线性无关组，在中任取一个向量则可由线性表出。于是，向量组，可由线性表出但前者的向量个数为故，线性相关，从而不全为0的使=0
而且k（否则。若k=0，则有不全为0的数使=0，这与线性无关相矛盾）。于是得。
即中任意一个向量都是由线性表出。利用等价关系可知，可由与等价的向量组线性表出，所以与等价。
第三章。第三章矩阵。
1.教材习题 3.2 第 2题。
1.教材习题 3.2 第 6 题。
证：设n阶矩阵a,b的秩分别为，并记。设b的列向量组为，则有 ，即
故b 的任何一个列向量（）都是齐次方程组的解，都可由齐次方程组的基础解系线性表出，于是。
由此得 。2.教材习题 3.3 第 6 (4) 题。
解：3.教材习题 3.4 第 5（1） 题。
解： 因 ，则 a 可逆 。因：故。
4.教材习题 3.5 第 9 题。
解： 记， ,分别取它们的前3个分量，得， ,由于 ,故线性无关。 每个向量再加一个分量，它们仍线性无关，故线性无关。下面用schmidt正交化方法，求与等价的正交单位向量组。
正交化---令。
再把单位化：
是与等价的正交单位向量组。
复习题 3
第 9 题。
证明：因为对于任一n维列向量x，都有，于是可取n个线性无关的n维列向量，每个都满足。
以为列向量组构成矩阵b，则。
因线性无关，故b可逆，于是由右乘，得。
第 10题。
解：当时，可逆，。因 ，两边取行列式，得，则有，故。
当时， 的非零子式的最高阶数为，，从而
这表明，的列向量组都是齐次方程组的解，故的列向量组可由
的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为，于是
但因的非零子式的最高阶数为，则矩阵的元素的代数余子式中至少有一个不为零，故
当时，的所有阶子式全等于零，即的全部元素均为零，故
第 11题。
证明：因，两边取行列式，得，若可逆， ,则得，若不可逆， ,则。
此时，但题设，即与均为阶数大于或等于2的方阵，从而至少是2阶方阵，但，于是的非零子式的最高阶数小于或等于1 ,则的2阶及2阶以上的子式全为0.显然是的2阶或2阶以上的子式，所以。故有。
第4章矩阵的对角化。
第5章教材习题 4.1 第 1 题。
试证：如果a∽b，那么∽
证：因a∽b,存在可逆矩阵 x 使，，故。
令，则可逆，且，故。
所以a∽b。
2.教材习题 4.2 第 1 （3）题。
解：特征多项式。
特征值为。当时，求齐次方程组的基础解系：
一般解为 基础解系为
是矩阵a的属于特征值的特征向量，。
当时，求齐次方程组的基础解系：
一般解为 基地解系为
是矩阵a的属于特征值的特征向量，。
当时，求齐次方程组的基础解系：
一般解为 基础解系为
是矩阵a的属于特征值的特征向量，。
教材习题 4.3 第 4 题
解：矩阵a的属于不同特征的特征向量是线性无关的，即线性无关。从而3阶矩阵a有3个线性无关的特征向量，故a可以对角化。以为列向量组构成可逆矩阵。
则有，于是。
由此可求得a。为此，先求：
所以 教材习题 4.4 第 1（ 1 ） 题。
解：a的特征多项式。
a的特征值。
a是实对称矩阵，下面分别求属于不同特征值的特征向量。
时，求的基础解系：
由此得一般解：
基础解系。因为a是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量互相正交，故只须将单位化：
4时，求的基础解系：
由此得一般解：
基础解系。-2时，求的基础解系：
由此得一般解：
基础解系。是正交单位向量组，以它们为列，构成正交矩阵：
复习题 4 第 8 ， 10 题。
证：因任意n维非零向量都是a的特征向量，那么很容易找到a 的n个线性无关的特征向量，从而a可以对角化，即存在可逆矩阵x，使。
其中是a的全部特征值。下面证明全相同。用反证法。
设，设是a的属于特征值的特征向量，是a的属于特征值的特征向量。它们均为非零向量，且线性无关，从而是n维非零向量，由题设可知，是a的特征向量，于是有，但故有。
即，然而线性无关，故有，于是。
所以。即，a是数量矩阵。
证：充分性---a，b的特征多项式相等，则a，b有相同的特征值，。因a，b都是n阶实对称称矩阵，则分别存在正交矩阵使。
于是得。两端左乘，右乘得。
即 记，因，均为正交矩阵，则t也是正交矩阵，从而有。
必要性---因为有正交矩阵t，使，那么。
所以，a， b的特征多项式相等。
高等代数阶段性作业
高等代数 专升本 阶段性作业2 总分 100分得分 0分。一 单选题。1.线性方程组有解的充要条件是 10分 a 向量可由的行向量组线性表示。b 向量可由的列向量组线性表示。c 矩阵的行向量组线性无关。d 矩阵的行列式不为零。参 b 2.下列论断不正确的是 10分 a 线性方程组的任意两个解之和仍为...
高等代数阶段性作业
高等代数 专升本 阶段性作业2 总分 100分得分 0分。一 单选题。1.线性方程组有解的充要条件是 10分 a 向量可由的行向量组线性表示。b 向量可由的列向量组线性表示。c 矩阵的行向量组线性无关。d 矩阵的行列式不为零。参 b 2.下列论断不正确的是 10分 a 线性方程组的任意两个解之和仍为...
高等代数阶段性作业
高等代数 专升本 阶段性作业1 总分 100分得分 0分。一 单选题。1.设多项式，则该多项式的阶数为 10分 a 5 b 2 c 3 d 1 参 a 2.下列结论正确的是 10分 a n次多项式必有n个实根 b 整系数多项式的根都是整数 c 多项式与互素的充要条件是没有重因式。d 5次多项式必有5...