数学建模作业90分

1. 解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期变化的，以日期在一年中的序号为自变量x，以白昼时间为因变量y,则根据表1.

17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y先增后减，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。选择正弦函数y=asin(x—1.3712)+12.

385**该地12月21日的白昼时间为5.49小时。

2．解：“两秒准则”表明前后车距d与车速ν成正比例关系d=k2ν,其中k2=2s , 对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由d—d=ν[2ν—（k2—κ1）]可以计算得到当ν＜（k2—κ1）/κ2=54.

428㎞/h时有d＜d，“两秒准则”足够安全，或者吧刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。

用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间，并以尾随时间为根据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4秒准则”或“t秒准则”（如下图）。

t秒准则，刹车距离的模型和数据

3、解：（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为△c/c,则生猪饲养的天数t发生的相对变化△t/t是△c/c的多少倍，即定义t对c的灵敏度为。

s（t,c）= 因为△c→0，所以重新定义t对c的灵敏度为s（t,c）==由课本上可知t= ②所以t=-,所以t是c的减函数为了使t﹥0，c应满足rp(0)-gω(0)-c>0结合①②

可得s（t,c2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，**时间就应该提前2% 。

2）同（1）理总收益q对每天投入资金c的灵敏度为。

s（q,c）= qmax= ④

结合③④得qmax=－=4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%

4、①解记第k年山猫 xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得。

xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2…其解为等比数列xk=x0(1+r)k, k=0,1,2…

当分别取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为

年较好中等较差。

从上可以得出结论：

1）在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；

2）在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值；

3）在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。

若每年捕获3只，b=－3，则列式为。

xk+1=(1+r)xk－b

则山猫在25年内的演变为。

年较好中等较差。

由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。

同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为。

年较好中等较差。

如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。

若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b只，到第k年山猫的数量为xk=(1+r)xk-1+b, k=0,1,2…

这时 xk= xk-1 =60，r=-4.5%，代入上式得b≈3

5解：记存款的年利息为r ,由于一开始存入银行的本金为x0,第k 年存入银行的钱为xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有：每年利息=本年存入款项年利息。

每年取出款项=上一年存入款项+每年利息。

每年存入款项=每年取出款项-奖金。

列式得：由上式解得。

由实际情况，已知x0 =20(万元)，r在近10多年的变化幅度在2%~4%之间，我们取3个值，分别为2%，3%，4%，1）当年利率为2%时，每年存入款项随奖金数变化如下。

年数\奖金数额 2千元 4千元 6千元。