第十六章差分方程模型。
离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
1 差分方程。
1.1 差分方程简介。
规定只取非负整数。记为变量在点的取值，则称为的一阶向前差分，简称差分，称为的二阶差分。类似地，可以定义的阶差分。
由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程也可改写成。
满足一差分方程的序列称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程。
为阶常系数线性差分方程，其中是常数，。其对应的齐次方程为。
容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解：
）先求解对应的特征方程。
）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
）若特征方程（3）有个互不相同的实根，则齐次方程（2）的通解为。
为任意常数）
）若是特征方程（3）的重根，通解中对应于的项为，为任意常数。
）若特征方程（3）有单重复根，通解中对应它们的项为，其中为的模，为的幅角。
）若是特征方程（3）的重复根，则通解对应于它们的项为。
为任意常数。
）求非齐次方程（1）的一个特解。若为方程（2）的通解，则非齐次方程（1）的通解为。
求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的也可使用待定系数法。例如，当，为的次多项式时可以证明：
若不是特征根，则非齐次方程（1）有形如的特解，也是的次多项式；若是重特征根，则方程（1）有形如的特解。进而可利用待定系数法求出，从而得到方程（1）的一个特解。
例1 求解两阶差分方程。
解对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为。
原方程有形如的特解。代入原方程求得，，故原方程的通解为。
例2 在信道上传输仅用三个字母且长度为的词，规定有两个连续出现的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。
解令表示容许传输且长度为的词的个数，，通过简单计算可求得：，。当时，若词的第一个字母是或则词可按种方式完成；若词的第一个字母是，则第二个字母是或，该词剩下的部分可按种方式完成。
于是，得差分方程。
其特征方程为。
特征根。则通解为。
利用条件，，求得，
在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数如何取值，在时总有，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。
1.2 常系数线性差分方程的变换解法。
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用变换，将差分方程变换为代数方程去求解。
设有离散序列，，则的变换定义为。
其中是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。
的反变换记作。
1.2.1 几个常用离散函数的变换。
）单位冲激函数的变换。
即单位冲激函数的变换为1。
）单位阶跃函数的变换，即。
）单边指数函数的变换（为不等于1的正常数）
1.2.2 变换的性质。
）线性性质。
设，，则。其中为常数。收敛域为和的公共区域。
）平移性。设，则，例3 求齐次差分方程，
的解。解令，对差分方程取变换，得，对上式取反变换，便得差分方程的解为。
2 蛛网模型。
2.1 问题提出。
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种商品的**变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引起****，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产量的下降，带来的供不应求又会导致**上升，又有很多生产商会进行该商品的生产；随之而来的，又会出现商品过剩，**下降。
在没有外界干扰的情况下，这种现象将会反复出现。
如何从数学的角度来描述上述现象呢？
2.2 模型假设。
）设时段商品数量为，其**为。这里，把时间离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
）同一时段的商品的**取决于该时段商品的数量，把。
称之为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其**就越低，故可以假设：需求函数为一个单调下降函数。
）下一时段商品数量由上一个时段的商品的**决定，把。
称之为**函数。由于**越高可以导致产量越大，故可假设**函数是一个单调上升的函数。
2.3 模型求解。
在同一个坐标系中做出需求函数与**函数的图形，设两条曲线相交于，则为平衡点。因为此时，，若某个，有，则可推出，
即商品的数量保持在，**保持在，不妨设，下面考虑在图上的变化。如下图所示，当给定后，**由上的。
点决定，下一时段的数量由上的点决定，又可由上的点决定。依此类推，可得一系列的点，，，图上的箭头表示求出的次序，由图知：
即市场经济将趋于稳定。
并不是所有的需求函数和**函数都趋于稳定，若给定的与的图形如下图所示，得出的就不趋于，此时，市场经济趋向不稳定。
上两图中的折线形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平，取决于生产者的生产、管理等能力。
当已经知道需求函数和**函数之后，可以根据和的性质判断平衡点的稳定性。利用结论：当较小时，点的稳定性取决于与在点的斜率，即当。
时，点稳定，当。
时，点不稳定。
这一结论的直观解释是：需求曲线越平，**曲线越陡，越有利于经济稳定。
设，，在点附近取与的线性近似，由（5），（6）式得。
上两式中消去，得。
11）式对均成立，有。
以上个式子相加，有。
此为（11）式的解。
若是稳定点，则应有：
结合（12）式考虑，点稳定的条件是。
即。同理，点不稳定的条件是。
即。此时，。这与（7），（8）式是一致的。
2.4 模型的修正。
在上面模型假设的第（）点中引进了**函数，并且知道取决于管理者的生产、管理水平。如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定该商品生产数量时，不仅考虑了前一时期的**，而且也考虑了**。为了简化起见，不妨设由决定，则**函数可写成。
在附近取线性近似，则有。
由（9）式有。
将上两式代入（15）式，整理得。
这是一个二阶线性差分方程，其特征方程为。
经计算，可得其特征根。
结论：若方程的特征根均在单位圆内，即，，则为稳定点。
当时，（16）式有两个实根，因。
则有，故此时不是稳定点。
当时，（16）式有两个共轭复根，此时。
要使为稳定点，只需。
与（13）式相比，与的范围扩大了。这是由于经营者经营管理水平的提高带来的结果。
3 商品销售量**。
在利用差分方程建模研究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根。对问题的进一步研究又常需考虑到随机因素的影响，从而用到相应的概率统计知识。
例4 某商品前5年的销售量见表。现希望根据前5年的统计数据**第6年起该商品在各季度中的销售量。
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