线性规划模型。
一、 问题的提出。
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财。
力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 若需在长为4000mm的圆钢上 ，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样。
截取才能使残料最少？
初步分析可以先考虑两种“极端”的情况：
1） 全部截出长为698mm的甲件，一共可截出5件，残料长为510mm。
2） 全部截出长为518mm的乙件，一共可截出7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截。
取条件数学化地表示出来就是：
698 x + 518y 4000
x ，y都是非负整数。
目标是使：z =（材料利用率）尽可能地接近或等于1。（尽可能地大）
该问题可用数学模型表示为：
目标函数 ： max z =
满足约束条件： 698 x + 518y 4000 ， 1)
x ，y都是非负整数 . 2)
例2 某工厂在计划期内要安排生产i 、ii两种产品，已知生产单位产品所需的设备台。
数及a、b两种原料的消耗，如下表所示。
该工厂每生产一件产品i可获利 2 元，每生产一件产品ii可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？
这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品i、ii的产量。因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定i 、ii的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：
x 1 + 2x 2 8 .
同理，因原材料a 、b的限量，可以得到以下不等式：
4 x 116
4 x 2 12.
该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x 1、x 2以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x 1 + 3 x 2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：
目标函数max z = 2x 1 + 3 x 2
满足约束条件： x 1 + 2x 2 8
4 x 116
4 x 2 12.
x 1 ，x 2 0
该模型的特征是：
1） 有一组决策变量（x 1 ,x 2 ,…x n)表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负的。
2） 存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性等式（不等式）来表示。
3） 有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型。其一般形式为：
目标函数 ： max(min) z = c 1x 1 + c 2x 2 + c nx n
a11x 1 + a12x 2 +…a13x nb 1
a21x 1 + a22x 2 +…a23x nb2
满足约束条件。
a m1x 1 + a m2x 2 +…a m3x n (=b m
x 1 ,x 2 ,…x n 0
二、 穷举法。
以例1为例介绍穷举法。
先根据（1）求出x 所有可能的取值为，再由（1）把相应y 的最。
大值求出，对应为，依此计算住z值如下表：
由表可知，在一根圆钢上截取2个甲件和5个乙件，可以得到最高的材料利用率99.65%。
例2作为课后练习。
三、**法。
1、 用二元一次不等式表示平面区域。
yyyyox ox ox ox
ax + by > cax +by < cax +by >cax +by < c
a>0, b >0a >0, b<0a>0, b<0a>0, b<0
2． **法。
**法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。现对例1进行**。
条件（1）、（2）对应的恰好是图1中斜线下方和两条坐标轴在第一象限中的三角形aob
内的整点（即横、纵坐标都是整数的点）。当整点越靠近直线ab，残料就越少（若ab恰好过其中一个整点，则该整点坐标所对应的截料方法一定是无残了的最佳截料方法）。比较c、d、e、f、g、h，知e（2，5）距直线ab最近，故知取x =2，y = 5是材料利用率最高的截料方法。
在以x1、x2为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x1, x2 0 是指第一象限（及x轴正半轴、
y轴正半轴)。每一个约束条件都表示一个半平面。若约束条件 x 1 + 2x 2 8 是代表以直线。
x 1 + 2x 2 = 8为边界的左下方的半平面。 x24x1 = 16
若同时满足x 1 + 2x 2 8，4 x 1 16x 1 + 2x 2 = 84x 2=12
4 x 2 12和x 1 ，x 2 0约束的点q4q3
必然在由这三个半平面围成的区域内。 3q2
由例1的所有约束条件为半平面围成 2
的区域见右图阴影部分。阴影区域中 1
的每一个点（包括边界点）都这个线q1x1
性规划问题的解o
再分析目标函数max z = 2x 1 + 3 x 2，在这坐标平面上，它表示以 z为参数、–为斜率的一族平行直线 ：
x 2 = x1 +
位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称它为“等值线”。当z值由小变大时，直线x 2 = x1 +沿其法线方向（法线方向是指与直线垂直的方向）向上方移动。当移动到q 2点时，使z值在可行域（阴影部分）边界上实现最大化，这就得到了例 1 的最优解q2，q2点的坐标为（4，2）。
于是算得z =14。
这说明该厂的最优生产计划方案是：生产产品i 4件，生产产品更新换代ii 2件，可得到最大利润为14元。
练习：1． 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利120元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？
（甲20件，乙24件，获利4280元）
2． 电视台为某个广告公司特约**两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间。
电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？
3． **2023年奥运会男子铅球的成绩。（资料**：1996-18-18《体育报》）
4． **2023年我国进出口总额。（资料**：2023年《中国经济统计年鉴》及1997-1-2
《人民**》）
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数学建模 线性规划
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