数学建模之统计回归模型

数学建模大作业。

统计回归模型。

摘要。某公司想用全行业的销售额作为自变量来**公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据**。通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：

此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理**的目的。我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。

在问题一中，我们使用matlb数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。

在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用dw检测诊断随机误差项的自相关性。通过计算和查dw表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，**结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。

在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行**，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。

关键词：销售额、回归模型、自相关性。

一、问题提出。

某公司想用全行业的销售额作为自变量来**公司的销售额，下表给出了1977-2023年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）.

1）画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。

2）监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用dw检验诊断随机误差项的自相关性。

3）建立消除了随机误差项自相关性后的回归模型。

二、基本假设。

假设一：模型中ε（对时间t）相互独立。

三、符号说明。

公司销售额：（百万）

行业销售额：（百万）

概念介绍：1.自相关：

自相关（auto correlation），又称序列相关（serial correlation）是指总体回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。即不同观测点上的误差项彼此相关。

2．置信区间：如果p（）=1-α，0.1或0.05，则称区间[a,b]为的置信度为1-α的置信区间。

3.时间序列：时间序列法是一种定量**方法，亦称简单外延方法。时间序列即按时间的推移或排布会对规律的变化有所影响。

四、问题分析。

问题一：表中的数据是以时间为顺序的。由于前期的销售额对后期的投资一般有明显的影响，从而对后期的后期的销售额造成影响。

因此在此模型中应考虑到存在自相关，我们可以先建立基本的回归模型，然后再进行自相关性诊断，并建立新的回归模型。

问题二：在问题一之后，就可以接着求出问题二，然后利用dw检验诊断随机误差项的自相关性。

问题三：进行了自相关诊断后，将自相关加入模型中，建立消除了随机误差项自相关性的回归模型。

五、模型的建立与求解。

5.1 问题一。

5.1.1 问题一的分析。

表中数据是以时间为序的，建立基本的回归模型。

5.1.2 问题一模型的建立。

基本回归模型：

设该公司第时间的公司销售额为，行业销售额为。为了大致分析和的关系，首先利用表中的数据作出对关系作出散点图，如下（见图中的“+”做散点图：

可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中的直线说明两者呈线性模型，因此本题用线性回归模型拟合非常合适。

5.2 问题二。

5.2.1 问题二的分析。

从问题一中的图形可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中的直线说明两者呈线性模型，因此可建立一元线性回归模型。

5.2.2 问题二模型的建立。

由题意建立一元线性回归模型。

模型（1）中除了行业销售额和公司销售额的影响外，影响的其他因素都包含在随机误差内，这里假设（对t相互独立）且服从均值为零的正态分布n(0, )

5.2.3 问题二模型的求解。

根据表中的数据。对模型（1）直接利用matlab统计工具箱求解（具体算法见附录），得到的回归系数估计值及置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量， ,的结果见下表：

将参数估计值代入（1）得到：

用matlab中rstool命令得到的交互式画面见图（1），由此可以得出不同水平下的**值及其置信区间。通过左下方的export下拉式菜单。可以输出模型的统计结果。

图1自相关性诊断与处理方法从表面上来看得到的基本模型（2）拟合度（r）非常之高，接近你100%，应该很满意了，但是，这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列（将原表中的数据打乱不影响模型（2）的结果）。实际上对于时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差有可能存在相关性，违背模型关于（对时间t）相互独立的基本假设，其他相关因素对公司销售额的影响肯能也有时间上的延续，包含在随机误差中，即随机误差会出现自相关性。

残差可以作为随机误差的估计值，画出的散点图，能够从直观上判断的自相关性。模型（2）的残差可在计算过程中得到表1，以及数据的图见图 2

表 1图 2

为了对ε的字相关性做定量的诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下模型。

其中是自相关系数，||1,相互独立且服从均值为0的正态分布。

若=0，则退化为普通的回归模型；若》0，则随机误差存在正的自相关；若<0，则随机误差存在负的自相关。

利用d-w检验诊断自相关现象如下：

利用matlab算出：

dw=0.7388 =0.6306

具体程序见附录)

因为dw≈2（1-），所以 0≤dw≤4,若的估计值在0附近，则dw的值在2附近，的自相关行很弱，若在正负1附近，则dw接近0或4，的自相关性很强。

5.2.4 问题二结果的分析及验证。

要根据dw的具体数值确定是否存在自相关，查d-w分布表，可以得到检验的临界值和，然后根据区间来确定。

利用表1给出的残差，根据以上式子可得出dw=0.7388，对于显著性水平α=0.05，n=20,k=2,查d-w分布表，得到检验的临界值=1.

2和=1.4 .现在dw<,因此可以认为随即误差存在正自相关，而且可得出=0.

6306。

5.3 问题三。

5.3.1 问题三的分析。

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