数学建模作业。
信息科学与技术学院。
chapter 1 数学建模初步。
作业一。一、问题分析。
通常三只脚着地，但要求放稳，需要四只脚着地。
二、模型假设。
1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈长方形。
2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面。
3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
三、模型建立及分析。
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。
1、椅子位置：因为长方形（椅脚连线）具有对称性，所以用（对角线与x轴）的夹角表示椅子位置。
2、四只脚着地： 椅脚与地面距离为零， 距离是的函数。
所以，四个距离可由长方形对称性转换为两个距离，故令ac两脚与地面距离之和，bd两脚与地面距离之和
由地面为连续曲面， 得到和为连续函数。
由椅子在任意位置至少三只脚着地，得到对任意，和至少一个为0。
故上述问题转换为以下证明题：
已知：和是连续函数，对任意，，且。
证明：存在，使。
将椅子旋转，使得对角线ac和bd互换。
由，得。令，则和。
由f,g的连续性知h为连续函数，据连续函数的基本性质，必存在，使，即。
因为，所以。
chapter 2初等模型。
作业一。1）程序**。
函数文件建立：function f=fun(x)
f=1/(1+x^2);
程序调用：n=linspace(-5,5,11);
i=1;while i<=11
y(i)=fun(n(i));
i=i+1;
endy1=interp1(n,y,'linear');
y2=interp1(n,y,'spline');
plot(n,y1,'+
plot(n,y2,'-
运行结果。作业二。
1）程序**。
函数文件建立：
function v=vol(c,t)
v=10-(10-c(1))*exp(-t/c(2));
程序调用：clc
t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];
v=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];
c0=[1,1];
c=lsqcurvefit(@vol,c0,t,v)
2）运行结果：
即v0=5.5577，τ=3.5002
作业三。1、问题分析。
由**给出的历年比赛数据可得，举重成绩和运动员体重之间有着一定的关系，但不是正比关系，举重的成绩还与运动员的肌肉强度有近似正比关系，而肌肉的强度与肌肉的横截面积成正比，建立模型。
2、模型假设。
（1）举重总成绩还与运动员的心理素质，临场发挥等因素有关，我们只考虑体重这一因素，假设其他条件相差不大。
2）举重运动员的举重能力与肌肉的强度成正比，肌肉的强度与其横截面的面积也成正比，假设运动员的横截面积与身高的关系为平方正比。
3）运动员的举重能力用举重总成绩来刻画。
4）运动员体重用w表示。
3、模型建立。
1.程序**。
函数文件建立： function f=weigh(c,w)
f=c(1)*w.^(c(2));
程序调用：w=[54 59 64 70 76 83 91 99 108 110];%w>108取110
y=[287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430 457.5];
c0=[1,1];
c=lsqcurvefit(@weigh,c0,w,y)
plot(w,y,'*
hold on
wi=40:2:120;
yi=weigh(c,wi);
plot(wi,yi,'r')
hold off
2.运行结果：
使用matlab工具箱画出的图形为：
总之，两图像大致相同，与假设相拟合。
chapter 3 微分方程模型。
作业一。一、问题分析。
1.药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量mg/ml)
2.血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计。
3.药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学。
4.建立房室模型——药物动力学的基本步骤。
5.房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移。
2、模型假设。
1.中心室的容积在药物转移过程中保持不变。
2.药物从体外进入中心室再排除体外。与转移和排除的数量相比，药物的吸收可以忽略。
3. 中心室向体外的排除速率与该室的血药浓度成正比。
3、模型建立。
设变量：设c(t),x(t),v分别表示中心室的血药浓度、药量和容积，k是中心室向体外排除的速率系数，f0(t)是给药速率。
根据条件和假设：d(x(t))/dt=f0(t)-kx(t)，代入x(t)=v*c(t)，得模型为：
d(c(t))/dt=f0(t)/ v-k*c(t)
4、模型求解。
设v=2l/kg，d0=10mg/kg , k=2
下面分别考虑三种给药方式：
1.快速静脉注射。
设在t=0的瞬间将剂量d0的药物输入中心室，血药浓度立即上升为d0/v，则初始条件为f0(t)=0 ，c(0)= d0/v=5
代入方程得：d(c(t))/dt=-k*c(t)
程序**：dsolve ('dc+2*c=0','c(0)= 5')
结果： c(t)=5*exp(-2*t)
血药浓度曲线图形**：
t=0:0.1:8;
c=5.*exp(-2.*t)
plot (t,c,'r-')
xlabel ('t轴');
ylabel ('c轴');
legend('f0(t)=0,c(0)= d0/v=5');
title('快速静脉注射c(0)= 5血药浓度图像');
2.恒速静脉注射。
设静脉滴注的速率为常数k0时，注射时间为τ，设k0=4，τ=4,则有。
当0=则方程为：d(c(t))/dt =-2*c(t)+4
程序**：dsolve('dc+2*c-4=0','c(0)=0')
结果： c(t)=2-2*exp(-2*t) 当t=4时：c(4)=1.9993
当t>t 初始条件：f0(t)=0，c(3)=1.9950
则方程为：d(c(t))/dt=-2c(t)
程序**：dsolve('dc+2*c=0','c(3)= 1.9950')
结果：c(t)=399/200*exp(-2*t)/exp(-8)
血药浓度曲线图形**：
t=0:0.1:8;
c= (2-2*exp(-2*t)).t<=4)+
399/200*exp(-2*t)/exp(-8)).t>4)
plot (t,c,'r--'
xlabel ('t轴');
ylabel ('c轴');
legend(‘静脉滴注速率k0为4，注射时间τ为4’)
title ('恒速静脉注射血药浓度图像');
3.口服或肌肉注射。
即有一个吸收室，设x0(t)为吸收室的药量，药物由吸收室进入中心室的转移系数为k01，设k01=2
1）求解x0(t)： x0(t)满足d(x0(t))/dt=- k01x0 x0(0)= d0
代入数据得：d(x0(t))/dt=-2* x0 , x0(0)= 10
求解x0(t)**：dsolve('dx+2*x=0','x(0)= 10')
结果：x0(t) =10*exp(-2*t)
所以，药物进入中心室的速率为：f0(t)= k01* x0(t)=20*exp(-2*t)
2）求解c(t):
浓度随时间变化的方程为d(c(t))/dt=-k*c(t)+ f0(t)/v
代入数据得：d(c(t))/dt=-2*c(t)+ 20*exp(-2*t) ,c(0)=0
程序**： dsolve('dc+2*c-20*exp(-2*t) =0','c(0)=0')
结果为：c(t)=20*exp(-2*t)*t
血药浓度曲线图形**：
t=0:0.1:8;
c=20.*exp(-2.*t).*t
plot(t,c,'r--'
xlabel('t轴');
ylabel('c轴');
legend(‘吸收室进入中心室的转移系数k01为2’)
title('口服或肌肉注射血药浓度图像');
最后将三条图像画到同一个坐标系中：
t=0:0.1:8;
c1=5*exp(-2*t);
c2= (2-2*exp(-2*t)).t<=3)+(399/200/exp(-6)*exp(-2*t)).t>3)
c3=20.*exp(-2.*t).*t
plot(t,c1,'r-',t,c2,'b-',t,c3,'k-')
xlabel('t轴');
ylabel('c轴');
title('三种给药方式的血药浓度图像);
作业二 1、问题分析。
1.研究人口变化规律，建立人口数学模型，做出较准确的预报，控制人口过快增长，是有效控制人口增长的前提。
1.指数增长模型存在局限性：不符合19世纪后多数地区人口增长规律。不能**较长期的人口增长过程。
2.人口增长到一定数量后，增长率率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大。
2、模型假设。
1.人口增长率——
2.人口数量——x
3.自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量——
三、模型建立。
x(t)满足微分方程（1）
阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。将表示为人口x(t)的函数，最简单假定（2），叫做固有增长率，表示人口很少时的增长率。
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