数学建模选修课作业。
院系：x学院。
专业班级：xxxxxxxxxxxx班。
学号：xxxxxxxxxx
学生姓名：xxxxxx
指导教师：xxxx
二零一三年四月五日。
楼房倒塌时断裂位置分析。
摘要。一个正在倒下的大楼，在倒下的过程中，会自己断成两截。断裂处将出现在楼房的什么位置？
在断裂之前，整个大楼显然以一个相同的角速度下落。考虑到大楼的顶部，由于自身重力的影响，它本来应该下落得更快，但却被强行地“扳”回到一个和大楼下部相同的角速度，额外的扭矩最终将其断裂成两部分。首先，根据力学知识中扭矩、转动惯量及角加速度之间的关系建立关于距离的模型，并对模型作出合理的假设；其次，对模型进行分析，得出相应的多阶段关系式，并求出结果；最后，对模型的优劣进行分析，给出改进意见。
结果表明，该方法能比较合理的测出楼房倒塌断裂时的位置，其结果为距离地面1/3高度，即距离地面100米位置。
关键字：扭矩； 转动惯量； 角加速度；
一、问题重述。
大家在电影里经常会看见这样一个情景：一个正在倒下的大楼，会在倒下的过程中，自己断成两截。那断裂处将出现在大楼的什么位置？
现在有一栋高300米的大楼，由于年久失修，摇摇欲坠，非常危险，因此**要求施工队伍拆除危险建筑。现要求测量，如果大楼自由倾倒时，大楼断裂的位置，以确定绝对安全距离。
二、模型假设。
1、假设大楼质量分布均匀，不考虑内部构造的影响，可以看做是均匀的实心墙体；
2、假设大楼倾倒时可以看做是刚体的定轴转动；
三、符号说明。
距离楼顶的距离。
开始下降的初角度。
扭矩。转动惯量
角加速度 楼高。
四、模型建立。
假设大楼刚开始下降的角度是a，则这一时刻的扭矩：
大楼的转动惯量：
图一 由基本动力学方程可以得到此时的角加速度：
3可以看到，角加速度和长度呈反比。然而整个大楼以相同的角加速度旋转倾倒，因此，可以从实例中看出：仅在大楼的某些特定的顶部部分，它会旋转的比它所应该在其自身的重量下旋转得“慢”。
它的“减缓”是因为不仅其重量影响它的转矩，而且它的底部部分也有一定的作用，额外的扭矩最终将其分成两部分。则有。
该转矩加上转矩（其作用在相反的方向上）等于顶端部分乘以相同的角加速度：
又可知：6） 此转矩消失在距离大地近的一端，并有一个最大值。因此，大楼将断裂在其自身高度的1/3处。
可以得出：大楼最可能在离地100米地方断裂（求解maple 7.0程序见附录）。
图二。五、模型改进。
误差分析。在理论计算当中，许多细微的条件被忽略，从而导致理论值跟实际值之间存在一定的误差，比如大楼的受力是理想情况下的，而实际情况非常复杂。
优点与缺点。
优点：解题中，基本把握了入题的关键点，以合理假设为切入点，理清了做题的思路，选择了较为符合实际的方式进行建模、求解，并计算出题目要求的结果。
缺点：考虑的因素不够全面，解题思路和方式有待改进与加强，以得到更精确的值，更精细的解题步骤。
改进建议。本题我们把它看成理想状态下来求解，但现实中很多因素对此有很大的影响，还应考虑温度，风向，风力等因素的影响。
六、参考文献。
1] 王铎，程靳。理论力学（第六版）.北京：高等教育出版社，2002
2] 李银山。maple理论力学（第1版）.北京：机械工业出版社，2006-03
3] 陈理荣。数学建模导论。北京：北京邮电大学出版社，1999
4] 蔡锁章。数学建模原理与方法。北京：海洋出版社，2000
5] 沈继红。数学建模。哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998
7、附录。restart:
m1:=1/2*m*g*h*cos(a);
j1:=1/3*m*h^2;
w:=solve(m1=j1*w,w);
printf("联立以上方程，求解角加速度w（这里用”w”代替角加速度的符号）")
m2:=1/2*m*x/h*g*x*cos(a);
j2:=1/3*m*x^3/h;
m3:=m2-j2*w;
printf("先计算m3的导数，然后求解u，可以得出结果");
u:=diff(m3,x);
solve(u,x);
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