数学建模作业

《数学建模》作业。

学号姓名工作量 100 %

专业所属学院

指导教师。二〇一七年六月。

第一部分：请在以下两题中任选一题完成（20 分）。

1、（马王堆一号墓入葬年代的测定建模问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于 1972 年 8 月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳-14 平均原子蜕变数为 29.78 次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳-14（c-14）原子蜕变数为 38.37 次/分钟。

又知碳-14 的半衰期为 5730 年，试推断该一号墓入葬的大致年代。

问题分析：放射性元素衰变的速度是不受环境影响的，它总是和该元素当前的量成正比，运用碳—14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：

1）宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳—14而同时碳—14又在不断衰变，从而大气层中碳—14含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的；

2）碳—14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳—14也处于动态平衡中，其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的；

3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳—14，从而其体内碳—14含量将由于衰变的不断减少，碳定年代法就是根据碳—14的减少量来判断物体的大致死亡时间。

模型建立设t时刻生物体中碳—14的含量为x（t），放射性物质的半衰期（即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间）为t，生物体死亡时间为t0，则由放射性物质衰变规律得数学模型

其中称为衰变系数，由放射性物质所决定，为生物体在死亡时刻时的碳—14含量。

模型求解对所得的一阶线性微分方程模型①采用同变量分离法求解，得

由于时，有

代入上式，有

所以得这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得

将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以

t=5730,新木炭标准中碳—14原子蜕变数。

x(1972)=29.78（出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数）代入到③式，得。

年于是得

年结果表明，马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。本例中所显示出的运用碳—14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。

第二部分：请谈谈自己听课后的感受及对数学建模的认识（20 分）。

在数学建模课程中，虽然只有短短的一上午，但是老师带领着我们打开了新世界的大门，对于我们城乡规划的学生，数学距离我们已经有些距离了。从大一学习较容易的高等数学之后，与数学便失去了缘分。数学建模的课程中，老师给我们讲了包饺子的问题，设置路障的问题都可以延伸到生活中的很多问题，为我们提供了一种新的思考方式，更加紧密的将数学与生活连接在了一起。

数学建模，是一种比较全面体现我们综合能力的方式，不仅是对我们专业知识的大练兵，更重要的是培养我们严谨务实的科学态度和刻苦钻研的毅力；学会尊重实践数据，倡导殚精竭虑的研究过程。所有这些都是我们实现科技创新所必需的基本要求。

面对实际问题，必须要对它进行抽象化套用数学原理建立模型，同时要根据实践经验对实际的结果进行理论分析和**，不妨称之为预期结果；然后通过描述模型进行数据计算，得到数据结果，我们不妨称之为理论结果。这样不难把事先分析的预期结果和理论结果进行分析比较，认真深入分析，不断改进理论模型，分析数据结果的缘由。通过不断改进模型甚至完全否定先前所做的一切抽象假设，另建模型，这实际上是一个不断发现问题——解决问题——再发现问题的过程。

这一过程锻炼了我们的分析能力、动手操作能力和钻研能力，这也是一个逐步改进，逐步创新的过程。在这一过程中，我们不断纠正和深入对实际问题的认识，反复提炼问题的关键所在，不断尝试使用不同的方法分析比较，寻求解决问题的最佳方案。我们调用大脑中所有的知识积累，通过反复验证使用的原理方法，实现解决问题方案的可行性、准确性，独到性，这是一个非常艰辛的创造过程。

第三部分：灰色关联分析方法建模问题（60 分）。

b 题：研究表明，影响软件项目维护成本的因素如图 1 所示。现知某软件公司 2016 年 a、b、c、d、e 等五个软件项目维护成本支出及其影响因素维护成本支出分摊的估算数据如表 1 所示，试应用灰色关联分析方法分析影响维护成本的主要影响因素。

图 1 软件项目维护成本影响因素指标体系。

注：本题要求要有模型方法、数据、结果分析与比较，并以图表的形式。

0 引言。软件维护是软件交付用户使用后，为保证软件安全稳定运行而对其进行修改的过程．通过维护修改软件缺陷，提高软件性能或其它属性，使软件产品适应新环境，延长软件生命周期．软件维护工作量很大，虽然在不同的应用领域维护成本差别很大，但平均说来，大型软件项目的维护成本高达开发成本的 4倍左右．目前国外许多软件开发组织把 60％的人力用于维护已有软件，而且随着软件数量增多和使用寿命延长，这个百分比还在持续上升 j．对软件项目维护成本影响因素进行关联分析，找出影响程度较高的主要因素，在制定维护计划以及维护管理过程中着重控制好这些主要因素，是降低维护成本、提高软件企业经济效益的重要手段．同时，通过对影响因素的关联分析，在开发阶段就解决好主要因素引起的潜在问题，对于提高软件质量、降低软件成本、为用户提供更优良的服务等方面具有重要意义．

1 指标体系。

影响因素指标体系构建是关联分析的基础性工作，构建方法通常是对搜集到的数据归纳整理，然后根据尺度进行衡量，既要运用逻辑推理的方法，也要以事实为依据，将主、客观因素相结合，通常使用专家评价法、经济分析法和运筹学方法等．构建过程中要以构建的一般原则为指导并综合反映问题的本质．根据软件维护的特点并结合前人的研究成果，影响软件维护成本主要有开发方因素 (即开发因素 )和用户方因素(即用户因素) ，各因素构成的递阶层次分析结构模型如图 1所示．

2 数学模型。

数学模型是针对系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括或近似表述出的一种数学结构，借助数学符号刻画系统的关系结构．本文按求解步骤构建数学模型．

步骤 1：无量纲化处理。

各因素组成的序列，一般来说取值单位或量级不尽相同，因而无法直接进行比较．无量纲化的目的是消除不同因素在单位、量级上的差异．常用的方法包括：均值法、向量规范化 (标准化 )、一般线性变换法、归一化处理法、极值处理法、标准差标准化法、数据均值化、初值化法等．本文采用数据均值化．数据均值化是用数据列中所有数据的平均值去除所有数据，得到一个占平均值百分比为多少的新序列．设原始的凡+ 1个序列为 (i=0，1，，n； =1，2，，rn)．第 i个序列的平均值为：

数据均值化处理后的新序列为：

步骤 2：计算关联系数。

关联系数是考虑数据列曲线间几何形状的差别，用曲线之间差值的大小作为衡量关联系数的依据．

步骤 3：计算关联度。

关联系数是比较序列与参考序列在各个时刻(即曲线中的各点)的关联程度值，数据较多，信息过于分散不便于整体性比较．因此，有必要将各个时刻的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较序列与参考序列问关联程度的数量表示．比较序列与参考序列。的关联度 r 的计算公式为：

步骤 4：关联度排序与结果分析。

因素间的关联程度，主要用关联度的大小次序描述，而不仅仅是关联度的大小．关联度越大则表明参考序列与比较序列之间关系越密切，关联度越小则表明参考序列与比较序列之间关系越不密切．关联度的排列顺序就是影响因素对维护成本大小影响程度的排列顺序，进而对影响因素进行分析，找到降低维护成。

本的途径．3 实例分析。

现以某软件公司2024年 a、b、c、d、e等五个软件项目维护成本支出及其各影响因素维护成本支出分摊的估算数据为例，说明运用灰色关联分析来寻找维护成本主要影响因素的具体应用．软件维护成本原始数据如表 1所示．

步骤1：无量纲化处理。

无量纲化处理结果如表2所示。

步骤 2：计算关联系数。

首先，计算两级最小差和两极最大差，结果如表 3所示。

渤海大学自然科学学报。

然后，计算关系数，结果如表 4所示：

步骤 3：计算关联度。

步骤 4：关联度排序与结果分析。

根据关联度值确定了影响因素权重¨引，结果见表 5中的第二行所示．关联度排序结果见表 5中的第三行数据．各影响因素对维护成本影响程度大小分别是：“需求理解错误、设计错误、增加新功能、需求变更、业务变化、软件升级完善、员工操作失误、提高系统性能、支撑环境变化、测试不充分、**编写错误、设备物理损坏”．从排序结果可以得出：

1)“需求理解错误”与软件维护成本的关联度最大，表明它是提高软件维护成本的最重要因素，因此要重视需求分析，在软件项目前期认真理解用户需求．

(2)“设备物理损坏”与软件维护成本的关联度最小，表明设备质量较好．

3)对维护维护成本影响最重要的五个因素分别是：需求理解错误、设计错误、增加新功能、需求变更、业务变化，这五个因素对软件维护成本的影响程度达到近 50％，因此要着重通过对这五个因素的控制来降低维护成本．

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