八年级下数学全优班培优

八年级全优班数学培优训练教程(1)

—图形的思考。

问题1：如图，在△abc中，ab＞ac，∠1=∠2，p为ad上任意一点．

求证：ab-ac＞pb-pc．

变式：如图，在△abc中，∠bac＝60°，∠acb＝40°，p、q分别在bc、ac上，并且ap、bq分别为∠bac、∠abc的角平分线上。求证：bq＋aq＝ab＋bp

问题2.已知，四边形abcd中，ab⊥ad，bc⊥cd，ba＝bc，∠abc＝120°，∠mbn＝60°, mbn绕b点旋转，它的两边分别交ad、dc（或它们的延长线）于e、f.当∠mbn绕b点旋转到ae＝cf时。

如图1，易证：ae＋cf＝ef；（不需证明）

当∠mbn绕b点旋转到ae≠cf时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段ae、cf、ef又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

变式：将两个全等的直角三角形abc和dbe按图①方式摆放，其中∠acb＝∠deb

90°，∠a＝∠d＝30°，点e落在ab上，de所在直线交ac所在直线于点f.

求证：af＋ef＝de;

若将图①中△dbe绕点b顺时针方向旋转角α，且0°＜α60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；

若将图①中△dbe绕点b按顺时针方向旋转角β，且60°＜β180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时af、ef与de之间的关系，并说明理由。

应用。⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△abc中，ab＝5，ac＝13, 求bc边上的中线ad的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长ad到e，使得de＝ad，再连接be，把ab、ac、2ad集中在△abe中，利用三角形的三边关系可得2＜ae＜8，则1＜ad＜4.

感悟：解题时，条件**现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。

问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△abc中，d是bc边上的中点，de⊥df，de交ab于点e，df交ac于点f，连接ef.

求证：be＋cf＞ef；

问题拓展：如图，在四边形abdc中，∠b＋∠c＝180°，db＝dc，∠bdc=120°，以d为顶点作一个60°角，角的两边分别交ab、ac于e、f两点，连接ef，探索线段be、cf、ef之间的数量关系，并加以证明．

问题3：如图，已知平面直角坐标系，a、b两点的坐标分别为a（2，－3），b（4，－1）．

若p（p，0）是x轴上的一个动点，则当p时，△pab的周长最短；

若c（a，0），d（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a时，四边形abcd的周长最短；

变式：如图①，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别交于点a、c，以oa、oc为边在第一象限内作长方形oabc．

求点a、c的坐标；

将△abc对折，使得点a与点c重合，折痕交ab于点d，求直线cd的解析式（图②）；

变式2：在平面直角坐标系中，一动点p（x，y）从m（1，0）出发，沿由a（－1，1），b（－1，－1），c（1，－1），d（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是p点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是p点的纵坐标y与p点运动的路程s之间的函数图象的一部分．

s与t之间的函数关系式是。

2）与图③相对应的p点的运动路径是p点出发 __秒首次到达点b；

⑶当3≤s≤8时，在图③中补全函数图象．

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