专题一：勾股定理的应用。
例1】如图，∠b=∠adc=90，ad=13，cd=12，bc=3，则ab的长是多少？3
例2】如图，已知am是△abc的bc边上的中线。
试说明： 训练】如图，已知∠c=90，am=cm，mp⊥ab于点p。
试说明： 点拨】勾股定理的应用必须在直角三角形中，利用勾股定理解决问题时，必须先构造直角三角形。
专题二：勾股定理的逆定理的应用。
例1】 在△abc中，三边长a、b、c满足a:b:c=9:15:12，试判断△abc是不是直角三角形。
例2】 在△abc中，已知（n>1）,试说明：∠c=90。
例3】如果△abc的三边长分别a、b、c，且满足，判断△abc的形状。
训练】已知一个三角形的三边长分别是试猜想这个三角形是不是直角三角形，并说明理由。
点拨】根据三角形三边的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
专题三：勾股定理中转化思想的应用。
例1】已知△abc是等腰三角形，∠a=90，ab=ac，点d是边bc的中点，e、f分别是ab、ac边上的点，且de⊥df，连接ef，若be=12，ae=5，求线段ef的长。
训练】如图，将长方形abcd折叠，使点d落在bc边的点f处，已知ab=8cm，bc=10cm。求ef的长。
点拨】转化思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题转化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决。在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，那么常常需要运用转化思想来解决。
专题四：勾股定理中方程思想的应用。
例1】一棵9米高的树被风折断，树顶落在离树根3米处，则折断处离地面多远？
例2】如图，有一张直角三角形纸片abc，已知ac=5cm，bc=10cm，将纸片折叠，使点b与点a重合，折痕为de，求cd的长。
训练】已知△abc中，ab=ac=20，bc=32，d是bc上一点，且ad⊥ac，求bd的长。
点拨】勾股定理的数学表达式是一个等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题。
温馨提示：请按要求完成后下周一上午放学前交到授课老师处。
专题五：勾股定理中分类讨论思想的应用。
例1】如图是一个长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方形盒子。一只蚂蚁要从长方体盒子的点a处，沿着长方形盒子的表面爬到点b处，则蚂蚁怎样爬行的路线最短？
训练】***在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下两个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出需要行的最短路程的长．
1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点a沿着正方体表面到点c1处；
2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点a沿着棱柱表面到c1处．
点拨】通常运用分类讨论思想解决此类问题。解答时易因解答不全而导致漏解，这里通过将长方体的部分表面展开，把立体图形转化为平面图形，把求爬行的最短路程问题转化为利用勾股定理求两点之间的距离问题。
专题六：勾股定理中类比思想的应用。
例1】如图①，分别以直角三角形abc三边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，则有，请说明理由。
1）如图②，分别以直角三角形abc三边为直径向外作正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系？
2）如图③，分别以直角三角形abc三边为直径向外作等边三角形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系？
训练】如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，然后依此类推，若正方形①的边长为64cm，则第④个正方形的边长为cm．
点拨】从特殊到一般，从已知到未知的方法，类比勾股定理的**过程，其关键就在于理解勾股定理。
第二章《实数》
专题一平方根与立方根。
例1】已知：是的算术平方根，是的立方根，求m+n的平方根。
例2】一个正数x的平方根是，则a的值是多少？
例3】已知数a、b满足，解关于x的方程。
训练】已知的平方根是，的平方根是，求的平方根。
专题二利用平方根与立方根解方程。
例4】求满足下列各式的未知数x.
专题三实数的大小比较。
例1】（1）比较与的大小2）比较与的大小。
训练】比较下列两数的大小：
1）与5； （2）与4.9 （3）与 （4）与。
例2】比较与的大小训练】比较与的大小。
例3】比较， ,的大小（提示：需要分类讨论）
训练】一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个三角形的周长为。
第四章《一次函数》
专题一数形结合思想。
例1】两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的（ ）
例2】如图，四边形abcd是边长为2cm的正方形，动点p在正方形abcd的边上沿a→b→c→d的路径以1cm/s的速度运动（点p不与a、d重合）。在这个运动过程中，△apd的面积s（cm2）随时间t(s)的变化关系用如图所示的图象表示，正确的为（ ）
训练】1、若实数a、b、c满足a+b+c=0,且a则函数y=ax+c的图象可能是图中的（ ）
2、如图，射线oa、ba分别是表示甲、乙两人骑。
自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t
分别表示行使距离和时间，则这两人骑自行车的。
速度相差km/h.
专题二一次函数与三角形的综合。
例1】已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式。
例2】如图，直线ab与x轴交于点a（1，0），与y轴交于点b（0，-2）。
1） 求直线ab对应的函数表达式；
2） 若直线ab上的c点在第一象限，且s△boc=2，求点c的坐标。
3） 在坐标轴找一点d，使△abd为等腰三角形。
训练】1、已知直线y=kx+b经过点（，0）且与坐标轴围成的三角形面积为，求该直线的表达式。
2、直线l:y=-x+2与x轴交于点a，若直线l上的c点在第二象限，且s△aoc=12，求点c坐标。
专题三与一次函数有关的实际问题。
例1】一报亭从报社订购某晚报的**是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的**退回报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获利润为y（元）。
1） 写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
2） 报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
例2】某乡a、b两村盛产香梨，a村有香梨200吨，b村有香梨300吨，现将这些香梨运到c、d两个冷藏仓库，已知c仓库可储存240吨，d仓库可储存260吨，从a村运往c、d两处的费用分别为每吨40元和45元；从b村运往c、d两处的费用分别为每吨25元和32元。设从a村运往c仓库的香梨为x吨，a、b两村往仓库运香梨的运输费用分别为ya元，yb元。
1）请填写下表，并求出ya，yb与x之间的函数关系式；
2）当x为何值时，a村的运费较少？
3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。
训练】某商场计划投入一笔资金采购一批商品，经过市场调查发现，如果月初**可获利15%，并可用本利和再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末**可获利30%，但要付仓储费用700元，问该商店如何销售获利较多？
培优班八年级语文
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