一元二次方程 （八年级数学组集体备课资料）
根据第一轮讨论尝试执行新授课模式“情境导入新知---**得出新知--巩固--再**--在巩固--课堂小结--检测反馈”螺旋式上升。
教学目标】知识与技能。
1.了解整式方程的意义，理解一元二次方程及其有关概念；
2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容；
3.了解一元二次方程根的意义和用法。
过程与方法。
1.通过对**分割以及身边的实际应用例子的展示，一方面让学生了解对应用问题的处理方法，另一方面，通过这类方程和前面所学的方程的比较，让学生学会学习新知的方法——类比法；
2.通过对类比法的说明，培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识；
3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程，体会数学建模的应用。
情感、态度与价值观。
1.经历在应用过程中归纳概念的过程，培养学生体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力，逐步感知数学的应用能力和数学美。
2.通过对一元二次方程定义的讲解，培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。
教学重难点】
重点：一元二次方程的概念和一般形式。
难点：正确识别一元二次方程和列一元二次方程。
教学过程】一、问题探索—导入新知。
一）利用多**展示问题1和问题2：
师：请同学们思考大屏幕上这两个问题）
问题（1）古代数学《九章算术》里的一个题目。大意是：一个人拿一根竹竿进城，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，沿着们的两个队角斜着，不多不少刚好进去。问这根竹竿有多长？
问题（2）. 剪一块面积是150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？
（二）**与思考：
1.如果设这根竹竿长为xcm，可怎样列方程？(继续**，思维拓展)
2. 对于问题2，如何列方程求解。
生：通过思考，交流合作列出方程并期待师给出正确评价。
师：请同学们把方程左边按未知数的降幂排列，右边为0.
设计意图：这两个问题都是通过列方程来解的应用题。一是为了化解本章的难点，让学生先接触一些比较简单的应用题，通过解题培养自信；另一方面，通过常规的解应用题的步骤，得到一元二次方程。
故意让学生出现卡壳的现象，这为进一步**新方程服务。
二、对比交流—**新知。
（利用多**展示问题1和问题2所列出的两个方程及三个有关的问题）
师：请同学们观察由问题1和问题2所列出的两个方程：
x2-75x+350=0,x2-x-56=0.
1.观察这两个方程的结构特点，它们的未知数的个数和最高次数各是多少？它们有什么共同点？
2.对比以上三个方程与一元一次方程，它们有什么区别？由此，你能得到关于一元二次方程的特征吗？
3.根据这个特征，你能给一元二次方程下个定义吗？
生：思考中。 师：板书课题。）
设计意图：让学生自己进行对比研究，比较现在的方程与以前的有什么异同。通过对照，意在让学生通过讨论、归纳，科学而全面地得到一元二次方程的概念。
根据学生讨论、交流，得到一元二次方程及其相关量的概念（师：板书一元二次方程的定义）
一）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
师：根据这个定义，我们能识别一元二次方程吗？（多**展示例1，并引导生完成例1的解答。）
例1.判断下列方程哪些是一元二次方程：
①3x十2＝5x—3 ② x 2＝4 ③2x2-3x+5=0
④ 3x(x-5)=0x—1)(x—2)＝x 2十8
引导学生根据一元二次方程的定义判定。
设计意图：概念教学不能死板硬套，要让学生在**中发现，在**中生成，在**中归纳与总结，最后在处理问题中得到升华。设计这个判断题就是让学生学会归纳规律，运用一元二次方程的实质来进行判断的。
师：我们知道一元一次方程的一般形式是ax+b=0（a≠0）,那么一元二次方程的一般形式是什么呢？（师引导生回答出一元二次方程的一般形式并板书。）
二）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。
其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
思考a＝0时方程还是一元二次方程吗？为什么？
1)请说出x 2—3x十4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项。
下列一元二次方程的呢？
x 2十3x十2＝o 4x 2十3x—2＝0 3x 2-5＝0
试一试：一个一元二次方程的未知数为y，二次项系数为－1、一次项系数为3、常数项为－6，请你写出它的一般形式。
例2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。（师引导学生完成解答过程）
解：去括号，得。
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式。
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
设计意图：教师安排这个例题，并且规范其解题步骤，目的就是为后面的学习运用公式法解方程服务。
师：我们知道方程的解是使方程两边相等的未知数的值，那么一元二次方程的解是什么呢？
生：生相互交流并思考中，师板书一元二次方程根的定义。
穿插巩固。三） 一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
可以类比一元一次方程的解的定义来理解和掌握。）
师：我们如何验证一个数是否为一元二次方程的根呢？(多**展示例3，并引导生完成例3的解答)
例3．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
四、科学归纳小结。
1．等号两边都是 ，只含有未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．
2．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的其中是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项．
3.能使一元二次方程的值是一元二次方程的解。又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为 。
设计意图：由于本节内容是本章的第一节课，所以，引导学生学会抽出知识点是一个学习方法和技能问题，故小结设计为填空题的形式。另外，它不仅是对本节重点内容的一个回顾，也是提醒学生对本节知识点掌握程度的一个提示。
课堂检测。一、选择题。
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- =0
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
a．2，3，-6 b．2，-3，18 c．2，-3，6 d．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
a．p=1 b．p>0 c．p≠0 d．p为任意实数。
二、选做题：（下面1.的两题根据自己的情况选做一小题，2.必做题）
1．（1）a满足什么条件时，关于x的方程（a-2）x 2-ax+5=0是一元二次方程？
2）a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
2. 下面那些数是方程x2-x-12=0的根？ -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6
3.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
设计意图：经过教材习题训练，一方面紧扣教材加强了对一些基本概念的理解和巩固，另一方面，也是为了化解本章用方程解应用题的难点问题。也为后面学习解法做一个铺垫。
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