专题23 面积的计算。
计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：
1.常见图形的面积公式；
2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；
3.等比定理：
1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比。
2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方。
熟悉下列基本图形、基本结论：
例题与求解。
例1】如图，△abc内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形aefd的面积为，则黄冈市竞赛试题）
解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口。
例2】如图，在△abc中，已知bd和ce分别是两边上的中线，并且bd⊥ce，bd＝4，ce＝6，那么△abc的面积等于全国初中数学联赛)
a．12b．14c．16d．18
解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△abc与四边形bcde面积存在一定的关系。
例3】如图，依次延长四边形abcd的边ab，bc，cd，da至e，f，g，h，使＝＝＝若s四边形efgh＝2s四边形abcd，求的值。
解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于的方程。
例4】如图，p，q是矩形abcd的边bc和cd延长线上的两点，pa与cq相交于点e，且∠pad＝∠qad，求证：s矩形abcd＝s△apq.
解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化。
例5】如图，在rt△abc中，∠a＝90°，ab＝8，ac＝6，若动点d从点b出发，沿线段ba运动到点a为止，移动速度为每秒2个单位长度。 过点d作de∥bc交ac于点e，设动点d运动的时间为秒，ae的长为y.
1) 求出y关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
2) 当为何值时，△bde的面积s有最大值，最大值为多少江西省中考试题)
解题思路：对于(1)利用△ade∽△abc可得y与的关系式；对于(2)先写出s关于的函数关系式，再求最大值。
例6】如图，设p为△abc内任意一点，直线ap，bp，cp交bc，ca，ab于点d，e，f.
求证：(1)＋＋1；
解题思路：过点a，p分别作bc的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把转化为面积比，利用面积法证明。
a 级。1．如图，abcd中，ae∶be＝1∶2，s△aef＝6cm2，则s△cdf的值为济南市中考试题)
2．如图，正六边形abcdef的边长为2cm，p为正六边形内任一点，则点p到各边距离之和为___
3．如图，p是边长为8的正方形abcd外一点，pb＝pc，△pbd的面积等于48，则△pbc的面积为北京市竞赛试题)
4．如图，已知△bof，△aof，△bod，△coe的面积分别为30，40，35，84，则△abc的面积为浙江省竞赛试题)
5．如图，已知ad是rt△abc斜边bc上的高，de 是rt△adc斜边上的高，如果dc∶ad＝1∶2， s△dce＝a，那么s△abc等于金华市中考试题)
a．4ab．9ac．16a d．25a
6．如图，已知m是abcd边ab的中点，cm交bd于点e，则图中阴影部分面积与abcd的面积之比为（ ）山西省中考试题）
abcd．
7．如图，在△abc中，de∥bc，de分别交ab，ac于点d，e，若s△ade＝2s△dce，则等于( )
(浙江省宁波市中考试题)
abcd8．如图，△abc是边长为6cm的等边三角形，被一平行于bc的矩形所截，ab被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（ ）cm2广东省竞赛试题)
a．4b．2c．3d．4
9．如图，平面上有两个边长相等的正方形abcd和 a′b′c′d′，且正方形a′b′c′d′的顶点a′在正方形abcd的中心，当正方形a′b′c′d′绕a′ 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值。 这个结论对吗？证明你的判断希望杯”邀请赛试题）
10．如图，设凸四边形abcd的一组对边ab，cd的中点分别为k，m.求证：s四边形abcd＝s△abm＋s△dck..
11．如图1，ab，cd是两条线段，m是ab的中点，s△dmc，s△dac，s△dbc分别表示△dmc，△dac，△dbc的面积，当ab∥cd时，有s△dmc＝……
1) 如图2，若图1中ab与cd不平行时，①式是否成立？请说明理由。
2) 如图3，若图1中ab与cd相交于点o时， 问s△dmc与s△dac和s△dbc有何相等关系？试证明你的结论。 （安徽省中考试题）
12．如图，在△abc中，∠acb＝90°，∠abc＝30°，将△abc绕顶点c顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ180°），得到△a′b′c′.
1) 如图1，当ab∥cb′时，设a′b′与cb相交于点d，证明：△a′cd是等边三角形；
2) 如图2，连接a′a，b′b，设△aca′和△bcb′的面积分别为s△aca′和s△bcb′.求证：s△aca′∶s△bcb′＝1∶3.
3) 如图3，设ac的中点为e，a′b′的中点为p，ac＝a，连接ep，当θ＝_时，ep长度最大，最大值是安徽省中考试题）
b 级。1．如图，a**段bg上，abcd和defg都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则△cde的面积等于cm2. （武汉市竞赛试题）
2．如图，p为正方形abcd内一点，pa＝pb＝10，并且p到cd边的距离也等于10，那么正方形abcd的面积是北京市竞赛试题)
3．如图，四边形abcd中，点e，f分别在bc，dc上，＝1，＝2，若△adf的面积为m，四边形aecf的面积为n (n＞m)，则四边形abcd的面积为全国初中数学联赛试题)
4．如图，图形abcd中，ab∥cd，ac和bd相交于点o，若ac＝5，bd＝12，中位线长为，△aob的面积为s1，△ocd的面积为s2，则山东省竞赛试题)
5．如图，分别延长△abc的三边ab，bc，ca至a′，b′，c′，使得aa′＝3ab，bb′＝3bc，cc′＝3ac，若s△abc＝1，则s△a′b′c′等于。
a．18b．19c．24d．27
(山东省竞赛试题)
6．如图，若abcd是2×2的正方形，e是ab的中点，f是bc的中点，af与de相交于点i，bd和af相交于点h，那么四边形beih的面积是。
abcd．
(江苏省竞赛试题。
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