13、（2013浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分8分）如图，在rt△abc中，∠bac=90°，ac=2ab，点d是ac的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与a、d重合，连结be、ec．试猜想线段be和ec的关系，并证明你的猜想．
答案：解：数量关系为：be=ec，位置关系是：be⊥ec1分。
证明：∵△aed是直角三角形，∠aed=90°，且有一个锐角是45°，∠ead=∠eda=45°，ae=de，∠bac=90°，∠eab=∠ead+∠bac=90°+45°=135°，edc=∠adc－∠eda=180°－45°=135°，∠eab=∠edc，d是ac的中点，ad= ab，ac=2ab，ab=dc，△eab≌△edc，eb=ec，且∠aeb=∠aed=90°，∠dec+∠bed=∠aed=∠bed=90°，be⊥ed8分（中间过程酌情给分）
15、（2013年广东省珠海市一模）已知：如图△abc是等边三角形，过ab边上的点d作dg∥bc，交ac于点g，在gd的延长线上取点e，使de=db，连接ae、cd．
1）求证：△age≌△dac；
2） 过点e作ef∥dc，交bc于点f，请你连接af，并判断△aef是怎样的三角形，试证明你的结论．
1）证明：∵△abc是等边三角形，ab=ac=bc，∠bac=∠abc=∠acb=60°．
eg∥bc，∠adg=∠abc=60°∠agd=∠acb=60°．
△adg是等边三角形．
ad=dg=ag．
de=db，eg=ab．
ge=ac．
eg=ab=ca，∠age=∠dac=60°，在△age和△dac中，△age≌△dac．
2）解：△aef为等边三角形．
证明：如图，连接af，dg∥bc，ef∥dc，四边形efcd是平行四边形，ef=cd，∠def=∠dcf，由（1）知△age≌△dac，ae=cd，∠aed=∠acd．
ef=cd=ae，∠aed+∠def=∠acd+∠dcb=60°，△aef为等边三角形．
题24图。19．（2013郑州外国语**卷）如图，等边△abc中，ao是∠bac的角平分线，d为ao上一点，以cd为一边且在cd下方作等边△cde,连结be.
1) 求证：△acd≌△bce；
2) 延长be至q, p为bq上一点，连结cp、cq使cp=cq=5, 若bc=8时，求pq的长。
答案：证明：△abc和△cde均为等边三角形，ac=bc , cd=ce 且∠acb=∠dce=60°
acd+∠dcb=∠dcb+∠bce=60°
acd=∠bce
acd≌△bce
2）解：作ch⊥bq交bq于h, 则pq=2hq
在rt△bhc中 ，由已知和（1）得。
cbh=∠cao=30°
ch=4，在rt△chq中，hq=
∴pq=2hq=6
20. （2013江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰直角△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上，从bc边开始绕点a顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别ab、ac于点e、f．
1）小明在旋转中发现：在图1中，线段与相等。请你证明小明发现的结论；
2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点a上，从bc边开始绕点a顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线bc于点d，直角边所在的直线交直线bc于点e．
当0°＜α45°时，小明在旋转中还发现线段bd、ce、de之间存在如下等量关系：
bd 2＋ce 2＝de 2．
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的方法：将△abd沿ad所在的直线对折得到△adf，连接ef（如图2）；
小亮的方法：将△abd绕点a逆时针旋转90°得到△acg，连接eg（如图3）．
请你从中任选一种方法进行证明；
3）小明继续旋转三角板，在**中得出：当45°＜α135°且α≠90°时，等量关系bd 2＋ce 2＝de 2仍然成立．现请你继续**：当135°＜α180°时（如图4），等量关系bd 2＋ce 2＝de 2是否仍然成立？
若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
答案：1）连接ao.
∠abc=90°,ab=ac且o是bc的中点，ao=bo, ∠oae=∠c=45°
∠aoe+∠aof=∠aof+∠cof =90°,∠aoe= ∠cof, ∴aoe≌△cof,∴ae=cf
2）证明小颖的方法：
将△abd沿ad所在的直线对折得到△adf，af＝ab，∠afd＝∠b＝45，∠bad＝∠fad。
又∵ac=ab，af＝ac。
由（1）知，∠fae＝∠cae。
在△aef和△aec中，af＝ ac，∠fae＝∠cae，ae＝ae，△aef≌△aec（sas）。
ce＝fe，∠afe＝∠c＝45。
∠dfe＝∠afd ＋∠afe＝90。
在rt△oce中，de2＋fe2＝de2，bd2＋ce2＝de2。
3）当135＜＜180时，等量关系bd2＋ce2＝de2仍然成立。证明如下：
如图，按小颖的方法作图，设ab与ef相交于点g。
将△abd沿ad所在的直线对折得到△adf，af＝ab，∠afd＝∠abc＝45，∠bad＝∠fad。
又∵ac=ab，af＝ac。
又∵∠cae＝900－∠bae＝900－（45－∠bad）＝45＋∠bad＝45＋∠fad＝∠fae。
在△aef和△aec中，af＝ ac，∠fae＝∠cae，ae＝ae，△aef≌△aec（sas）。
ce＝fe，∠afe＝∠c＝45。
又∵在△agf和△bge中，∠abc＝∠afe＝45，∠agf＝∠bge，∠fag＝∠beg。
又∵∠fde＋∠def=∠fde＋∠fag＝（∠adb＋∠dab）＝∠abc＝90。
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