新人教版九年级数学上册期末复习：
综合解答题分专题例谈
编写： 赵化中学郑宗平。
九年级上期数学统考中的综合解答题相对于统考试卷内的其它题目有一定难度系数的，在统考和中考常以压轴题的形式出现；下面我分专题编选了几种类型的综合解答题，每个专题又分为试题赏析、典型题例和追踪练习：试题赏析进行考点分析和解答，附有点评；解答规范书写，标注得分点；典型例题以师生互动的方式进行；追踪练习供课堂内外有余力的同学进一步提升。所有这些希望对同学们迎考有一定的帮助！
另外在最后还选编了一部分与现行的新人教版内容相吻合的综合解答题，供同学们课外选练，以提高应试能力。
专题一：以圆为基架的综合题。
一、试题赏析：
24.（2012-2013上学期统考）正方形abcd的边ab是⊙o的直径，cf切⊙o于点e，交ad于点f，且切点e在正方形的内部，ae、be的长是的两实根，令。
.求n与m函数关系式，并求出自变量m的取值范围；
.求m的值和af的长。
考点：正方形的性质、圆的基本性质、圆周角定理的推论、垂径定理、切线。
的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形、勾股定理、
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理等。
分析：⑴.由于ae、be是的两直角边，而是其斜边，所以本问应从。
和勾股定理切入；ae、be的长是的两实根，根据一元二次方程根的根与系数的关系定理（韦达定理）进行变换可以推出n与m函数关系式。再由一元二次方程根的判别式可得出自变量m的取值范围。
根据韦达定理可知，分别求出就可求出的值。连接交与，根据三角形的中位线定理，可知，在此基础上利用切线长定理、全等三角形和垂径定理的知识可以得出ae和be之间的数量关系，由建立方程可以求出的值，从而求出的值。
. 由、和①的值可以求出的值，从而得出正方形的边长的值。根据切线长定理可知：；进行代换后在rt中，由于的值在①问中已求出，所以。
根据勾股定理在rt建立方程可以求出的值；也可以在rt用同样的办法求出的值。
略解：.∵的长是方程两个实根。
1分。∵ab是⊙o的直径 ∴∠aeb=902分。
又∵∴ 4分。
∴且5分。又∵即∴函数自变量的取值范围是： …6分。
.连接分别交于，连接7分。
∵ce、cb都是⊙o的切线， ∴
∴om垂直平分be，即om⊥be、em=bm8分。
又∵o是ab的中点，∴om是△abe的中位线。
ae=2om9分。
在△abe和△bmc中：ab=bc，∠aeb=∠bmc=90°，∠cbm=∠eab
△aeb≌△bmc ∴mc=be ∴mc=be=2bm=4om10分。
设，则，即，解得： …11分。
12分。又 ∵
∵四边形是正方形。
∵fa、fe、ce、cb都是⊙o的切线， ∴
设，则 ∵在rt，
∴即13分。
∴解得； 故14分。
也可以在rt用同样的办法求出的值：这是由于。
故解得；故af= .
点评：本题的⑴问不难，只有有个配方变换，其余按常规解法解答即可。本题的⑵问由于有，所以分别求出是本问的突破口，又，所。
以找出两条线段之间的关系是关键，也是本问的一个难点。要找出之间的数量关系，直接的条件没有；但在连接后与交点所新构成三角形和线段作为“中间过渡”就成了关键中的关键。调动垂径定理、切线的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形知识就能找出之间的数量关系。
本问求线段可以化归在直角三角形中，利用勾股定理解决。
二、典型题例。
如图，pb切⊙o于b点，直线po交⊙o于点，过点b作 po的垂线ba，垂足为点d，交⊙o于点a，延长ao交⊙o于点c连结。
.求证：直线pa为⊙o的切线；
.若bc＝6,求⊙o的半径的长．
分析：师生互动形式进行。
三、追踪练习：
1.如图，⊙的直径为，弦为，分别是。
的平分线与⊙、的交点，为延长线上一点，且。
.求的长；.试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由。
2. 如图，是⊙的直径，是半圆上的一点，平分。
,垂足为，交⊙于，连接。
.判断与⊙的位置关系，并证明你的结论；
.若是的中点，⊙的半径为1，求图中阴影部分的面积。
3.已知，如图，以rt△的斜边为直径作⊙,是上的点，且。
有，连接，在延长线上取一点，使。
.求证：是⊙的切线；
.若，和的长度的比为，求⊙的半径。
专题二：以二次函数为基架的综合题。
一、试题赏析：
24.（2014-2015上学期统考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，直线。
为常数，且）与交于点，与轴交于点，与交于点，与抛物线在第二象限交于点。（图形见本题解答的最后）
.求抛物线的解析式；
.连接，求为何值时，的面积最大；
.已知一定点。问：是否存在这样的直线，使是等腰三角形？若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由。
考点：待定系数法求函数的解析式、点的坐标的意义、二次函数的最大值（最小值）问题、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的判定和性质等。
分析：⑴.存在两个待定系数，只需要两对变量即可求出，恰好题中给出了和点，用待定系数法便可求出此函数的解析式。
⑵.确定最大值或最小值可以将问题转化为二次函数来解决，若能把的面积表示为关于的二次函数，问题便可解决；由于点的坐标的实质是反映到坐标轴的距离（表示出点的坐标往往是函数为基架的综合题的关键），所以通过点的坐标来反映的底和高是本问的一个切入点；由于点是直线和直线交点，所以只要求出直线的解析式问题便解决了；已知点，而点同时也是抛物线与轴的交点，而⑴问能提供这样条件。
⑶.本问是一个存在性的问题，存在性问题一般先假设存在，以此为出发点来**。本问假设存在符合题意的直线，所涉及的判断的直线与直线的交点，和⑵问的方法一样，可以先把用的式子表达出来；因为定点，所以是个定值；根据点的坐标利用勾股定理把和表示出来，然后分为：
①.③.讨论其存在性。
略解：⑴.经过点和点 （示意图见解答的最后）
解得： ∴解析式3分
⑵.抛物线与轴交点。
设直线bc的解析式为，则 ∴
bc的解析式为4分。
直线5分。 d(，h6分。
∴ 当时， 的面积最大，最大面积为7分。
⑶.存在符合题意的直线，设直线ac的解析式为。
即 ∴ ac的解析式为8分
直线与直线的交点 ∴ f(，h
在中9分。.若，则，整理得： ∵256，此方程无解。 ∴不成立10分。
.若，则解得：
把代入，得 ∴
点在第二象限， ∴点的坐标为（－2，411分。
.若，则解得：， 不合题意舍去）
把代入，得 ∴
点在第二象限， ∴点的坐标为12分。
综上所述，存在直线或使是等腰三角形13分。
当时，点；当时，点（－2，414分。
点评：本题是一道典型的“二次综合题”.三个问的。
突出特点就是待定系数法的运用，都是为二次。
函数图象及其性质运用打下基础；特别是第⑶
是问一个存在性问题，考查了分类讨论的思想。
个方程的思想。
二、典型题例。
如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形， ,抛物线经过两点，抛物线的顶点为．
.求的值；.点是直角三角形斜边上一动点。
点除外)，过点作轴的垂线交抛物。
线于点，当线段的长度最大时，求点。
的坐标；.在⑵的条件下：
.求以点为顶点的四边形的面积；
.在抛物线上是否存在一点，使是以。
为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有。
点的坐标；若不存在，说明理由。
分析：师生互动形式进行。
三、追踪练习：
1.如图，点在轴上，,将线段绕点顺时。
针旋转120°至的位置．
.求点的坐标；
.求经过的抛物线的解析式；
.在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使。
得以点为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为。它的对称轴是直线。
.求抛物线的解析式；
.是线段上的任意一点，当△为等。
腰三角形时，求点的坐标。
3.在平面直角坐标系中（为坐标原点），已知抛物线过点。
.求的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
.设抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上在第一象限的点，点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，若四边形的面积为48，求点的坐标；
.在⑵的条件下，设是直线上任意一点，试判断是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由。
专题三：圆与二次函数共同搭建的综合题。
一、试题赏析：
27．（2023年中考）如图，抛物线交轴于点，交。
轴于点．将抛物线沿轴翻折得抛物线．
.求的解析式；
.在的对称轴上找出点，使点到点的对称点及两点的。
距离差最大，并说出理由；
.平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径。
的圆恰与轴相切，求此圆的半径．
考点： 二次函数综合题。包括待定系数法求解析式、一元二次方程、圆的切线的性质、轴对称的性质、三角形三边之间的关系、方程以及分类讨论的思想等。
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