24．（本小题满分12分）
如图，抛物线交轴于a、b两点（a点在b点左侧），交轴于点c，已知b（8，0），，abc的面积为8.
1）求抛物线的解析式；
2）若动直线ef（ef∥轴）从点c开始，以每秒1个长度单位的速度沿轴负方向平移，且交轴、线段bc于e、f两点，动点p同时从点b出发，**段ob上以每秒2个单位的速度向原点o运动。连结fp，设运动时间秒。当为何值时，的值最大，并求出最大值；
3）在满足（2）的条件下，是否存在的值，使以p、b、f为顶点的三角形与△abc相似。若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。
24．（本小题满分12分）
1）由题意知 ∠cob = 90°b(8，0) ob=8 在rt△obc中tan∠abc =
oc= ob×tan∠abc = 8×=4 ∴c(0,4)
∴ab = 4 a(4,0)
把a、b、c三点的坐标带入得解得。
所以抛物线的解析式为。
2）c ( 0, 4 ) b ( 8, 0 ) e ( 0, 4-t ) t > 0)
oc = 4 ob = 8 ce = t bp=2t op =8-2t
ef //ob ∴△cef ～△cob
则有得 ef = 2t
当t=2时有最大值2.
3）存在符合条件的t值，使△pbf与△abc相似。
c ( 0, 4 ) b ( 8, 0 ) e ( 0, 4-t ) f(2t , 4 - t ) p ( 8-2t , 0 ) t > 0)
ab = 4 bp=2t bf =
∵ oc = 4 ob = 8 ∴bc =
当点p与a、f与c对应则，代入得解得。
当点p与c、f与a对应则，代入得解得（不合题意，舍去）
综上所述：符合条件的和。
24．（本题12分）如图，已知抛物线与x轴交于点a(-2,0),b(4,0)，与y轴交于点c(0,8)．
1）求抛物线的解析式及其顶点d的坐标；
2）设直线cd交x轴于点e，过点b作x轴的垂线，交直线cd于点f，在坐标平面内找一点g，使以点g、f、c为顶点的三角形与△coe相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点g的坐标；
3）**段ob的垂直平分线上是否存在点p，使得点p到直线cd的距离等于点p到原点o的距离？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由；
4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段ef总有公共点．试**：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？
24. (本题12分) 解：（1）设抛物线解析式为，把代入得．……1分。
顶点………2分。
2)g(4,8), g(8,8), g(4,4) …3分。
3）假设满足条件的点存在，依题意设，由求得直线的解析式为………1分。
它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．
则，点到的距离为．
又．．平方并整理得：，．1分。
存在满足条件的点，的坐标为．……1分。
4）由上求得．
抛物线向上平移，可设解析式为．
当时，．当时，．或．……1分。
向上最多可平移72个单位长。……2分。
25.已知抛物线，点。
1） 求抛物线的顶点坐标；
2）若抛物线与y轴的交点为，连接，并延长交抛物线于点，求证：；
抛物线上任意一点，连接，并延长交抛物线于点，试判断为常数，请说明理由；
3） 将抛物线作适当的平移得到抛物线若时，恒成立，求的最大值。
25. （本题满分14分）（1）解：∵
顶点坐标 （2）证明∵ 与轴交点 ∴
作 ，垂足分别为 ，设在中，
而点在抛物线上
∴ 同理可得：
为常数。3）设图像 ∵
为左右平移所得 ，设抛物线与图像的交点的横坐标分别为 ∴随着抛物线不断向右平移时，的值不断增大，时，恒成立时，的最大值在处取得，即当时，取最大值．
∴的最大值为
23．如图11，在平面直角坐标系中，□abcd的顶点a、b、c的坐标分别为a（0，4）、b（1，4）、c（0，1），将□abcd绕点c沿顺时针方向旋转90°，得到□a’b’cd’， a’d’与bc相交于点e．
1）求经过点d、a、a’的抛物线的函数关系式；
2）求□abcd与□a’b’cd’的重叠部分（即△ced’）的面积；
3）点p是抛物线上点a、a’之间的一动点，是否存在点p使得△apa’的面积最大？若存在，求出△apa’的最大面积，及此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
图11备用图。
23、解：（1）d（，）a1分（只得其中一个也给1分）
设抛物线的解析式为。
将d（，）a（，）a’（，代入得：
2分。解得3分。
或3分。2）根据旋**∠ced’ ＝90°
∴△ced’∽△cab4分。
即5分。6分。
或：易得：与4分。
只得其中一个也给1分）
由得e5分。
6分。（3）易得：
设p（，）则q7分。
pq＝＝apa’的最大面积为8分。
此时，p9分。
26．（10分）如图，顶点为a（1，4）的抛物线与y轴交于点b（0，2），与x轴交于c，d两点，抛物线上一动点p沿抛物线从点c向点a运动，点p关于抛物线对称轴的对称点为点q，分别过点p，q向x轴作垂线，垂足分别为点m，n．抛物线对称轴与x轴相交于点e．
1）求此抛物线的解析式；
2）是否存在点p，使得△ace与△pmq相似？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，由已知条件可知，h和k的值，再把b的坐标代入求出a的值即可；
2）假设存在点p，使得△ace与△pmq相似，不妨设点p（1﹣t，4﹣2t2），由抛物线的对称性可求出点q的坐标为（1+t，4﹣2t2），再分两种情况△ace∽△pmq或△ace∽△qmp讨论求出符合题意的t值即可．
解答： 解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，顶点为a（1，4）
此抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，将点b（0，2）代入可求得：a=﹣2，此抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣1）2+4=﹣2x2+4x+2．
2）假设存在点p，使得△ace与△pmq相似，不妨设点p（1﹣t，4﹣2t2），根据对称性可得，点q的坐标为（1+t，4﹣2t2），令y=4﹣2（x﹣1）2=0，解得到：x=1±，从而有：c（1﹣），d（1+，0）
所以：0＜t＜，由于△ace与△pmq相似，则必有：或，当得到，解得t=2﹣或﹣2﹣（舍去）
从而得到点p（﹣1，8﹣8）．
当得到，解得t=或（舍去），从而得到点p（，）故存在这样的点p，坐标为（﹣1，8﹣8）或（，）
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
27．（9分）小明在玩一副三角板时发现：含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△cda的顶点a、c分别与△bac的顶点a、c重合．现在，他让△cda固定不动，将△bac通过变换使斜边bc经过△cda的直角顶点d．
1）如图②，将△bac绕点c按顺时针方向旋转角度α（0°＜α180°），使bc边经过点d，则。
2）如图③，将△bac绕点a按逆时针方向旋转，使bc边经过点d．
试说明：bc∥ac．
（3）如图④，若ab＝，将△bac沿射线ac方向平移m个单位长度，使bc边经过点d，求m的值．
27．解：（1）如图②，αaca＝45°－30°＝152分。
（2）如图③，过点a作ah⊥bc．垂足为h．
根据旋转可得：旋转角∠ca c＝∠bah．易证：在rt△abc中，∵ah⊥bc，c＝∠bah．∴∠ca c＝∠c．∴bc∥ac5分。
3）如图④，过点d作dh⊥ac，垂足为h．
由dh＝ac＝，△dhc∽△bac，可得ch＝．
所以m的值为9分
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