作业一：
1） minf(x)=x12+x22+8
x12-x2≤0
x1- x22+2=0
x1, x2≥0
解：该非线性规划转化为标准型为：
minf(x)=x12+x22+8
g1(x)= x2- x12≥0
g2(x)= x1- x22+2≥0
g3(x)= x1+x22-2≥0
g4(x)= x1≥0
g5(x)= x2≥0
f(x)， g1(x)，g2(x)， g4(x)，g5(x)的海赛矩阵的行列式分别为：
h4>0
g10≥0
g20设数（0<<1），令c(x)=x2，指定任意两点a和b，则。
c(a+(1-)b)= 2a2+(1-)2b2+2(1-)ab1）
c(a)+(1-)c(b)= a2+(1-)b22）
于是 c(a+(1-)b)- c(a)+(1-)c(b))=a2(2-)-b2(1-)+2(1-)ab
(2-)(a-b)2≤0
所以c(a+(1-)b) ≤c(a)+(1-)c(b)
故c(x)=x2为凸函数，从而g3(x)= x1+x22-2为凸函数。
从而可知f(x)为严格凸函数，约束条件g3(x)为凸函数，所以该非线性规划不是凸规划。
2） minf(x)=2x12+x22+x32-x1x2
x12+x22≤4
5 x1+ x3=10
x1, x2, x3≥0
解：该非线性规划转化为标准型为：
minf(x)=2x12+x22+x32-x1x2
g1(x)=4- x12-x22≥0
g2(x)= 5 x1+ x3-10=0
g3(x)= x1≥0
g4(x)=x2≥0
g5(x)=x3≥0
f(x)， g1(x)，g2(x)，g3(x)，g4(x)，g5(x)的海赛矩阵的行列式分别为：
从而可知f(x)为严格凸函数，g1(x)为严格凹函数，又g2(x)为线性函数，所以该非线性规划是凸规划。
作业二：分别用分数法和0.618法求函数。
f(t)=t2-6t+2
在区间[0,10]上的极小点，要求缩小后的区间长度不大于原区间长度的3%。
解：（1）分数法。
由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=7。
由1/fn≤0.03知，fn≥33.3，查表得n=8。
取a0=0，b0=10
t1= b0+f7/ f8（a0- b0）=3.824，t1’= a0+f7/ f8（b0- a0）=6.176
f(t1)=-6.321，f(t1’)=3.078，f(t1)< f(t1’)
所以a1=a0=0，b1= t1’=6.176，t2’= t1=3.824
t2= b1+ f6/ f7（a1- b1）=2.353，f(t2)=-6.581，f(t2) 所以a2=a1=0，b2= t2’=3.824，t3’= t2=2.353
t3= b2+ f5/ f6（a2- b2）=1.471，f(t3)=-4.662，f(t3) >f(t3’)
所以a3= t3=1.471，b3= b2=3.824，t4=t3’= 2.353
t4’= a3+ f4/ f5（b3- a3）=2.942，f(t4’)=6.997，f(t4) >f(t4’)
所以a4= t4= 2.353，b4= b3=3.824，t5=t4’=2.942
t5’= a4+ f3/ f4（b4- a4）=3.236，f(t5’)=6.944，f(t5) 所以a5= a4= 2.
353，b5= t5’=3.236，t6’= t5=2.942
t6= b5+ f2/ f3（a5- b5）=2.647，f(t6)=-6.875，f(t6) >f(t6’)
所以a6= t6=2.647，b6= b5=3.236，t7=t6’=2.942
t7’= a6+ f1/ f2（b6- a6）=2.942，f(t7) =f(t7’)
t7=1/2（a6+ b6）=2.942
令 t7’= a6+（1/2+ε）b6- a6）=2.942+0.589ε
因为ε可以是任意小数，取ε=0.001，则t7’=2.943
f(t7) >f(t7’)
故t7’=2.943为函数的近似极小点，近似极小值为-6.997，缩短后的区间为[2.942，3.236]，区间长度为0.294，符合要求。
2）0.618法。
由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=7。取a0=0，b0=10
t1= a0+0.382（b0- a0）=3.82，t1’= b0-0.382（b0- a0）=6.18
f(t1)=-6.328，f(t1’)=3.112，f(t1)< f(t1’)
所以a1=a0=0，b1= t1’=6.18，t2’= t1=3.82
t2= a1+0.382（b1- a1）=2.361，f(t2)=-6.592，f(t2)< f(t2’)
所以a2=a1=0，b2= t2’=3.82，t3’= t2=2.361
t3= a2+0.382（b2- a2）=1.459，f(t3)=-4.625，f(t3)>f(t3’)
所以a3= t3=1.459，b3= b2=3.82，t4= t3’=2.361
t4’= b3-0.382（b3- a3）=2.918，f(t4’)=6.993，f(t4)>f(t4’)
所以a4= t4=2.361，b4= b3=3.82，t5= t4’=2.918
t5’= b4-0.382（b4- a4）=3.263，f(t5’)=6.931，f(t5)< f(t5’)
所以a5=a4=2.361，b5= t5’=3.263，t6’= t5=2.918
t6= a5+0.382（b5- a5）=2.706，f(t6)=-6.914，f(t6)>f(t6’)
所以a6= t6=2.706，b6= b5=3.263，t7= t6’=2.918
t7’= b6-0.382（b6- a6）=3.050，f(t7’)=6.998，f(t7)>f(t7’)
所以a7= t7=2.918，b7= b6=3.263，t8= t7’=3.050
t8’= a7+0.382（b7- a7）=3.050，f(t8)=f(t8’)
令t8’= a7+（0.382+ε）b7- a7）=3.050+0.345ε，ε为任意小数，则。
f(t8)< f(t8’)，取ε=0.01，t8’=3.053
故该函数的近似极小点为t8= 3.050，近似极小值为-6.998，缩短后的区间为[a7，t8’]=2.918，3.053]，区间长度为0.135，符合要求。
作业三：一）《管理科学基础》习题3.3
分别用梯度法（迭代三次即可）和共轭梯度法求解下面的无约束极值问题min
解：（1）梯度法。
取初始点，，，故该函数的近似极小点为，近似极小值为-1.22
（2）共轭梯度法。
将f(x)化成标准形式为：
故。取初始点，故为该函数的极小点，极小值为-1.25
二）《运筹学》习题7.11
令为一组a共轭向量（假定为列向量），a为对称正定阵，试证。
证明：由于与a共轭，所以它们线性独立，设y为en中的任一向量，则存在，使。
式左乘得：从而。
令。式右乘ay得：
故ba=e(e为单位矩阵)
从而。证毕。
作业四：一）《运筹学》习题7.15
分析非线性规划。
在以下各点的可行下降方向（使用式（7-6）和式（7-7））：
并绘图表示各点可行下降方向的范围。
解：该非线性规划问题化为标准型为：，设可行下降方向为d=(a,b)t
1）当时，为有效约束，为无效约束。
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