2024年八年级数学暑假培优提高作业

【快乐假期】2024年八年级数学暑假培优提高作业2

二次函数。学生姓名家长签字。

一、学习指引。

1.知识要点。

1）形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫二次函数．

2）二次函数的图像。

一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x- h）2+k的图象．

3）图象的性质。

1.二次函数y= ax2+bx+c = a（x＋）2＋的图象是以x =－为对称轴，以（－，为顶点的抛物线．

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图2，当a > 0时，其图象的开口向上，这时当x <－时y的值随x的增大而减小；当x >－时y的值随x的增大而增大；当x =－时，y有最小值．如图3，当a < 0时，其图象的开口向下，这时当x <－时y的值随x的增大而增大；当x >－时y的值随x的增大而减小；当x =－时，y有最大值．

3.二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a——定形，│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小；a ，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点。

2.方法指引。

1）结合函数图象类比学习本讲内容．

2）掌握一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x-h)2+k、交点式y=a(x-x1)(x-x2)之间的互化．用待定系数发求解析式．

3）能数形结合进行一些简单的函数应用。

二、典型例题。

例1. 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块a悬于盛有水的水槽中（右图），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧秤的读数y（n）与铁块被提起的高度x（cm）之间的函数关系的大致图像是（）

abcd.例２．在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”不是的打“x”).

(l）y=-2x22）y=x-x2

3）y=2(x-1)2+34）s=a(8-a

例３．描点法画二次函数y=x2与y=-x2的图象，并简述其性质。

例4．画出并说明二次函数y=x2 与y=x2 +1、y=x2-2的图象及其平移关系。

例5．猜想并说明二次函数y=x2 与y=（x +1）2、y=（x-1）2的图象及其平移关系。

例6．说明二次函数y=x2 与y=（x-1）2 +2的图象平移关系，及y=（x-1）2 +2的对称轴、顶点坐标、最值、增减性。

例7．（1）说明抛物线y=2x2-5x+4的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性。

（2呢？ y=ax2+bx+c呢？

例8．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式：

1）当x=1时，y=0;x=0时，y= -2，x=2 时，y=3；

2）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）；

3）当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7）；

4）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）.

例9．二次函数的图象如图所示，则，，这四个式子中，值为。

正数的有（）

a．4个 b． 3个 c． 2个 d． 1个。

例10．已知二次函数的与的部分对应值如下表：

则下列判断中正确的是（）

a．抛物线开口向上 b．抛物线与轴交于负半轴。

c．当＝4时，＞0d．方程的正根在3与4之间。

例11．如图是抛物线的一部分，其对称轴。

为直线＝1，若其与轴一交点为b（3，0），则。

由图象可知，不等式＞0的解集是。

例12．二次函数的图象如图12所示，点位于坐标原点，

点，，，在y轴的正半轴上，点，…，在二次函数位于第一象限的图象上，

若△,△都为等边三角形，则△的边长。

例13．如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．

1）求点与点的坐标；

2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．

例14．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。

二次函数同步练习。

班级姓名。基础巩固】

1.抛物线的对称轴是直线。

a． b． c． d．

2．二次函数的图象如何平移就褥到的图( )

a．向左平移1个单位，再向上平移3个单位．

b．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．

c．向左平移1个单位，再向下平移3个单位．

d．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。

3．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为。

4．已知二次函数(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) .下列结论正确的是。

a. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大。

b. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小。

c. 存在一个负数x0，使得当x x0时，函数值y随x的增大而增大。

d. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大。

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0. ②该函数的图象关于直线对称。 ③当时，函数y的值都等于0. 其中正确结论的个数是（）

a．3 b．2 c．1 d．0

6．（已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）

a.4个 b.3个 c.2个 d.1个。

7．已知二次函数（其中a＞0， b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：

①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。

以上说法正确的个数为。

a．0 b．1 c．2 d．3

8．抛物线与y轴的交点坐标是与x轴的交点坐标是。

9．（2009南州）二次函数的图象关于原点o

0, 0）对称的图象的解析式是中。考。资。源。网。

10．已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小填“>”或“=”

11．函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=__

12．已知关于x的函数同时满足下列三个条件：

函数的图象不经过第二象限；

当时，对应的函数值；

当时，函数值y随x的增大而增大．

你认为符合要求的函数的解析式可以是写出一个即可）

13．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为a(1,-4)，且过点b(3,0)．（1）求该二次函数的解析式；

2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．

能力拓展】14．二次函数y =ax2＋bx＋c 的图象如图所示，且p=| a－b＋c |＋2a＋b |，q=| a＋b＋c |＋2a－b |，则p、q的大小为 .

15．直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为，①用的代数式表示点的坐标；②当为何值时，线段最短；

3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△ 的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若，不存在，请说明理由．

16．如图甲，在等腰直角三角形中点在第一象限，点坐标为．与关于轴对称．

1）求经过三点的抛物线的解析式；

2）若将向上平移个单位至（如图乙），则经过三点的抛物线的对称轴在轴的填“左侧”或“右侧”）

3）在（2）的条件下，设过三点的抛物线的对称轴为直线．求当为何值时，？

一开口向上的抛物线与x轴交于a（，0），b（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为c，且ac⊥bc．

1）若m为常数，求抛物线的解析式；

2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

3）设抛物线交y轴正半轴于d点，问是否存在实数m，使得△bcd为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

18．如图，在直角坐标系中，点a的坐标为（－2，0），连结oa，将线段oa绕原点o顺时针旋转120°，得到线段ob.

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