2024年暑假八年级数学作业2011.7.13-15
1. 如图，在平面直角坐标系中，点a、b、c的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（4，0）．p是线段oc上的一动点（点p与点o、c不重合），过点p的直线x＝t与ac相交于点q．设四边形abpq关于直线x＝t的对称的图形与△qpc重叠部分的面积为s．
求点b关于直线x＝t的对称点b′的坐标；
求s与t的函数关系式．
2.如图，在平面直角坐标系xoy中，直线ab与x轴交于点a，与y轴交于点b，且oa=3，ab=5．点p从点o出发沿oa以每秒1个单位长的速度向点a匀速运动，到达点a后立刻以原来的速度沿ao返回；点q从点a出发沿ab以每秒1个单位长的速度向点b匀速运动．伴随着p、q的运动，de保持垂直平分pq，且交pq于点d，交折线qb-bo-op于点e．点p、q同时出发，当点q到达点b时停止运动，点p也随之停止．设点p、q运动的时间是t秒（t＞0）．
1）求直线ab的解析式；
2）在点p从o向a运动的过程中，求△apq的面积s与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
3）在点e从b向o运动的过程中，完成下面问题：
四边形qbed能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
当de经过点o时，请你直接写出t的值．
解：（1）在rt△aob中，oa=3，ab=5，由勾股定理得ob= =4．
a（3，0），b（0，4）．
设直线ab的解析式为y=kx+b．∴ 解得
直线ab的解析式为 ；
2）如图1，过点q作qf⊥ao于点f．
aq=op=t，∴ap=3-t．由△aqf∽△abo，得 ．∴
qf= t，∴s= （3-t） t，∴s=- t2+ t；
3）四边形qbed能成为直角梯形．
如图2，当de∥qb时，de⊥pq，∴pq⊥qb，四边形qbed是直角梯形．此时∠aqp=90°．由△apq∽△abo，得 ．∴解得t= ；
如图3，当pq∥bo时，∵de⊥pq，∴de⊥bo，四边形qbed是直角梯形．
此时∠apq=90°．由△aqp∽△abo，得 ．即 = 解得t= ；
4）t= 或t= ．
3.如图，已知一次函数y = x +7与正比例函数y = x的图象交于点a，且与x轴交于点b.
1）求点a和点b的坐标；
2）过点a作ac⊥y轴于点c，过点b作直线l∥y轴．动点p从点o出发，以每秒1个单位长的速度，沿o—c—a的路线向点a运动；同时直线l从点b出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点r，交线段ba或线段ao于点q．当点p到达点a时，点p和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点p运动的时间为t秒。
当t为何值时，以a、p、r为顶点的三角形的面积为8？
是否存在以a、p、q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，得，解得，a(3，4) .令y=-x+7=0，得x=7．∴b（7，0）.
2）①当p在oc上运动时，0≤t＜4.
由s△apr=s梯形coba-s△acp-s△por-s△arb=8，得(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8.
整理，得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍）
当p在ca上运动，4≤t＜7. 由s△apr=×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）
当t=2时，以a、p、r为顶点的三角形的面积为8.
当p在oc上运动时，0≤t＜4.
ap=，aq=t，pq=7-t
当ap =aq时， （4-t）2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当ap=pq时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)
当aq=pq时，2（4-t）2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当p在ca上运动时，4≤t＜7. 过a作ad⊥ob于d,则ad=bd=4.
设直线l交ac于e，则qe⊥ac，ae=rd=t-4，ap=7-t.
由cos∠oac= =得aq = t-4)．
当ap=aq时，7-t = t-4)，解得t =.
当aq=pq时，ae＝pe，即ae= ap,得t-4= (7-t)，解得t =5.
当ap=pq时，过p作pf⊥aq于f,af= aq =×t-4).
在rt△apf中，由cos∠paf＝＝，得af＝ap即×(t-4)=×7-t)，解得t=.
综上所述，t=1或或5或时，△apq是等腰三角形。
4. 如图1，在矩形abcd中，将矩形折叠，使b落在边ad（含端点）上，落点记为e，这时折痕与边bc或者边cd（含端点）交于f,然后展开铺平，则以b、e、f为顶点的三角形△bef称为矩形abcd的“折痕三角形”
1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形abcd的任意一个“折痕△bef”是一个___三角形。
2)如图2，在矩形abcd中， ab=2,bc=4,当它的“折痕△bef”的顶点e位于ad的中点时，画出这个“折痕△bef”，并求出点f的坐标；
3）如图3，在矩形abcd中， ab=2,bc=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△bef”？若存在，说明理由，并求出此时点e的坐标？若不存在，为什么？
5.已知：如图，直线与x轴相交于点a，与直线相交于点p．
1）求点p的坐标．
2）请判断的形状并说明理由．
3）动点e从原点o出发，以每秒1个单位的速度沿着o→p→a的路线向点a匀速运动（e不与点o、a重合），过点e分别作ef⊥x轴于f，eb⊥y轴于b．设运动t秒时，矩形ebof与△opa重叠部分的面积为s．
求：① s与t之间的函数关系式．
当t为何值时，s最大，并求s的最大值．
解：（1）得：∴点p的坐标为(2，)；
2）将代入，，∴即oa=4.
作pd⊥oa于d，则od=2，pd=2.∵ tan∠poa=，∴poa=60°.
op=，∴poa是等边三角形．
3）① 当0在rt△eof中，∵∠eof=60°，oe=t
ef=t，of=t，∴s=·of·ef=；
当4设eb与op相交于点c.易知：ce=pe=t－4，ae=8－t，af=4－，ef= (8－t) ，
of=oa－af=4－（4－t）=t，∴s= (ce+of)·ef
(t－4+t)×(8－t）=－4t－8；
当0当4∵>2，∴当t=时，s最大=.
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．
1）求点的坐标．
2）当为等腰三角形时，求点的坐标．
3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）在中，当时，，，点的坐标为．
在中，当时，，点的坐标为（4，0）．
由题意，得解得点的坐标为．
2）当为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点的坐标为．
由（1），得，．
当时，过点作轴，垂足为点，则．，点的坐标为．
当时，过点作轴，垂足为点，则．，．
解得（舍去）．此时，．点的坐标为．
当，或时，同理可得．
由此可得点的坐标分别为．
3）存在．以点为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．
当四边形为平行四边形时，．
当四边形为平行四边形时，．
当四边形为平行四边形时，．
7 如图，在rt△abc中，∠b=90°，bc=5，∠c=30°.点d从点c出发沿ca方向以每秒2个单位长的速度向点a匀速运动，同时点e从点a出发沿ab方向以每秒1个单位长的速度向点b匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点d、e运动的时间是t秒（t＞0）.
过点d作df⊥bc于点f，连接de、ef.
1）求证：ae=df；
2）四边形aefd能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由。
3）当t为何值时，△def为直角三角形？请说明理由。
解：（1）在△dfc中，∠dfc=90°，∠c=30°，dc=2t，∴df=t.又∵ae=t，∴ae=df.
2）能。理由如下：∵ab⊥bc，df⊥bc，∴ae∥df.又ae=df，∴四边形aefd为平行四边形。
ab=bc·tan30°=
若使为菱形，则需即当时，四边形aefd为菱形。
3）①∠edf=90°时，四边形ebfd为矩形。
在rt△aed中，∠ade=∠c=30°，∴ad=2ae.即10-2t=2t，.
∠def=90°时，由（2）知ef∥ad，∴∠ade=∠def=90°.
∠a=90°-∠c=60°，∴ad=ae·cos60°.即。
∠efd=90°时，此种情况不存在。
综上所述，当或4时，△def为直角三角形。
8.在△abc中，ab=ac=2，∠a=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边bc边的中点o处（如图1），绕o点顺时针方向旋转，使90°角的两边与rt△abc的两边ab，ac分别相交于点e，f（如图2）．设be=x，cf=y．
1）**：在图2中，线段ae与cf之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边bc边的中点o处（如图3），绕o点顺时针方向旋转，其他条件不变．
试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围；
将三角尺绕o点旋转（如图4）的过程中，△oef是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△oef为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．
解：（1）线段ae与cf之间有相等关系．
证明：连接ao．如图2，∵ab=ac，点o为bc的中点，∠bac=90°，∴aoc=90°，∠eao=∠c=45°，ao=oc．
∠eof=90°，∠eoa+∠aof=90°，∠cof+∠aof=90°，∴eoa=∠foc．∴△eoa≌△foc，∴ae=cf．
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