2010--2011数学高二（理科）暑假作业（２）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合则为。
abcd．
2．设i为虚数单位，则展开式中的第三项为。
abc 30d
3．为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是。
a. b. c. d.
4．计算机的**大约每３年下降，那么今年花8100元买的一台计算机，９年后的**大约是。
a. 2400元 b. 900元 c. 300元 d. 100元。
5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是。
a. b. c. d.
6．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为。
a． b． c． d．
7．对、，运算“”、定义为： =则下列各式其中恒成立的是。
abcd.⑵、
8． 已知：，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为m，向区域上随机投一点a，点a落在区域m内的概率为，若，则实数m的取值范围为。
abcd．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．由抛物线和直线所围成图形的面积为。
10．已知点p(2,1)在圆c：上，点p关于直线的对称点也在圆c上，则圆c的圆心坐标为 、半径为 ．
11. 设，则 ．
12．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简。
称活动）．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如。
右图所示．则该文学社学生参加活动的人均次数为 ；从文学。
社中任意选两名学生，他们参加活动次数不同的概率是 ．
13. 如果点p在平面区域上，点q在曲线上，那么|pq|的最小值为。
14. （几何证明选讲选做题） 如图，是半圆的直径，点在半圆上，于点，且，设，则。
15．(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，则直线的极坐标方程为。
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知：向量， ，函数。
1）若且，求的值；
2）求函数的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角．
17．（本小题满分13分）
已知函数 ，函数。
1)判断方程的零点个数；
2)解关于的不等式，并用程序框图表示你的求解过程．
18．（本小题满分14分）
已知一四棱锥p－abcd的三视图如下，e是侧棱pc上的动点。
1）求四棱锥p－abcd的体积；
2）是否不论点e在何位置，都有bd⊥ae？证明你的结论；
3）若点e为pc的中点，求二面角d－ae－b的大小．
19．（本小题满分13分）
为迎接2024年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为a、b两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料a和原料b的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料a和原料b的量分别为5盒和10盒。若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料a、b的量分别为200盒和300盒。
问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
20．（本小题满分14分）
设直线与椭圆相交于a、b两个不同的点，与x轴相交于点c，记o为坐标原点。
（1）证明：；
（2）若的面积取得最大值时的椭圆方程．
21．（本小题满分14分）
已知二次函数同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立，设数列｛｝的前项和．
1）求函数的表达式；
2) 设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数；
3）设数列｛｝满足：，试**数列｛｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．
数学(理科)参***。
一．选择题：cdcd bbcd
解析：1. ∵选c.
．在展开式中，，故选d.
3．由可排除a,d,令可得可知c可能成立。
4. ９年后的**大约是元，选c.
5．由该表提供的信息知，该模拟函数在应为增函数，故排除d,将、4…代入选项a、b、c易得b最接近，故答案应选b.
6. 由已知得，，，选d。
7．由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案c.
8.已知直线过半圆上一点（－２当时，直线与ｘ轴重合，这时ｍ＝０故可排除a,c,若ｍ＝１如图可求得当，故选d.
二．填空题：9.；1011.；12.2.2、；13.；14. 10; 15..
解析：9. 由定积分的几何意义得，所求面积。
10.由点p(2,1)在圆上得，由点p关于直线的对称点也在圆c上知直线过圆心，即满足方程，∴，圆心坐标为（０，半径２。
11. 由得…
12. 由统计图知该文学社学生参加活动的人均次数为。
从中任意选两名学生，他们参加活动次数不同的概率是。
14.即，15．由正弦定理得即，∴所求直线的极坐标方程为。
三．解答题：
16.解2分。
1）由得即。
∴或。或4分。
8分。由得。
的单调增区间10分。
由上可得，当时，由得。
12分。17．解：（11分。
当时，方程有一个零点；
当时，方程有两个零点；--3分。
2）将不等式化为---5
当---6分。
当---7分。
当8分。求解过程的程序框图如右图：
注：完整画出框图给4分，（3）、（4）缺一且其它完整给2分，其它画法请参照给分。
18.（1）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥p－abcd的底面是边长为1的正方形，侧棱pc⊥底面abcd，且pc=22分。
4分。2) 不论点e在何位置，都有bd⊥ae5分。
证明如下：连结ac，∵abcd是正方形。
bd⊥ac ∵pc⊥底面abcd 且平面 ∴bd⊥pc7分。
又∵∴bd⊥平面pac
不论点e在何位置，都有ae平面pac
不论点e在何位置，都有bd⊥ae9分。
3) 解法1：在平面dae内过点d作dg⊥ae于g，连结bg
cd=cb,ec=ec, ∴
ed=eb, ∵ad=ab ∴△eda≌△eba
bg⊥ea ∴为二面角d－ea－b的平面角12分。
bc⊥de, ad∥bc ∴ad⊥de
在rｔ△ade中==bg
在△dgb中，由余弦定理得。
14分。解法２：以点c为坐标原点，cd所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则，从而11分。
设平面ade和平面abe的法向量分别为。
由法向量的性质可得：，
令，则，∴-13分。
设二面角d－ae－b的平面角为，则。
14分]19.解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得。
4分。目标函数为………5分。
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即。
可行域，如图： …7分。
目标函数可变形为，当通过图中的点a时，最大，这时z最大。
解得点a的坐标为（20,2410分。
将点代入得元。
答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元---12分。
20．（1）证明：由得。
将代入消去得。
3分。由直线l与椭圆相交于两个不同的点得。
整理得，即………5分。
（2）解：设由①，得。
而点， ∴得代入上式，得 ……8分。
于是，△oab的面积 --11分。
其中，上式取等号的条件是即………12分。
由可得。将及这两组值分别代入①，均可解出。
△oab的面积取得最大值的椭圆方程是………14分。
21．解（１）不等式≤0的解集有且只有一个元素。
解得或2分。
当时函数在递增，不满足条件②
当时函数在（０，上递减，满足条件②
综上得，即4分。
２）由（１）知。
当时， 当≥２时＝＝
6分。由题设可得7分。
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