2023年全国卷新课标——数学理科。
（适用地区：吉林黑龙江山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古）
本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题~第24题，考生根据要求作答。
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则中所含元素的个数为。
a. 3b. 6c. 8d. 10
2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有。
a. 12种b. 10种c. 9种d. 8种。
3. 下面是关于复数的四个命题：
的共轭复数为的虚部为。
其中的真命题为。
abcd. ，
4. 设是椭圆的左右焦点，为直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为。
abcd.5. 已知为等比数列，，，则。
abcd.
6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数和。
实数，输出，，则
a. 为的和。
b. 为的算术平均数。
c. 和分别是中最大的数和最小的数。
d. 和分别是中最小的数和最大的数。
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的。
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为。
a. 6b. 9
c. 12d. 18
8. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，，两点，，则的实轴长为。
abcd.
9. 已知，函数在单调递减，则的取值范围是。
abcd.
10. 已知函数，则的图像大致为。
11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为。
abcd.
12. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为。
abcd.
二、填空题。本大题共4小题，每小题5分。
13.已知向量，夹角为，且，，则 .
14. 设满足约束条件则的取值范围为 .
15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的。
使用寿命（单位：小时）服从正态分布。
且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
16. 数列满足，则的前60项和为 .
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(ⅰ)求；(ⅱ)若，的面积为，求，.
18. （本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的**从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的****。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
(ⅰ)若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；
(ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
19. （本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，(ⅰ证明：
(ⅱ)求二面角的大小。
20. （本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、两点。
(ⅰ)若，面积为，求的值及圆的方程；
(ⅱ)若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，的距离的比值。
21. （本小题满分12分）
已知函数。(ⅰ)求的解析式及单调区间；
(ⅱ)若，求的最大值。
请考生在第题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号。
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲。
如图，，分别为边，的中点，直线交的。
外接圆于，两点。若，证明：
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为。
(ⅰ)点，，，的直角坐标；
(ⅱ)设为上任意一点，求的取值范围。
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲。
已知函数。(ⅰ)当时，求不等式的解集；
(ⅱ)的解集包含，求的取值范围。
答案分析：1【解析】选d.
法一：按的值为1，2，3，4计数，共个；
法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是，小的是，共种选法。
2【解析】选a.
只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共种安排方案。
3【解析】选c.
经计算， .
4【解析】选c.
画图易得，是底角为的等腰三角形可得，即， 所以。
5【解析】选d.,或，成等比数列，.
6【解析】选c.
7【解析】选b.
由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，
8【解析】选c.
易知点在上，得，.
9【解析】选a.
由得，10【解析】选b.
易知对恒成立，当且仅当时，取等号。
11【解析】选a.
易知点到平面的距离是点到平面的距离的2倍。显然是棱长为1的正四面体，其高为，故，12【解析】选b.
与互为反函数，曲线与曲线关于直线对称，只需求曲线上的点到直线距离的最小值的2倍即可。设点，点到直线距离。
令，则。由得；由得，故当时，取最小值。所以，.
所以。13【解析】.
由已知得，解得。
14【解析】.
画出可行域，易知当直线经过点时，取最小值；当直线经过点时，取最大值3.故的取值范围为。
15【解析】 .
由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为。
16【解析】1830.
由得，…①…②,再由②①得， …
由①得， …
由③得， …
所以， .17解：(ⅰ法一：由及正弦定理可得，法二：由正弦定理可得，由余弦定理可得 .
再由可得，，
即，即， ，
解得。18解：(ⅰ
ⅱ) 若花店一天购进16枝玫瑰花，的分布列为。
的数学期望=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，的方差=60-76×0.1+70-76×0.2+80-76×0.7=44.
ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，的分布列为。
的数学期望=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.476，所以应购进17枝玫瑰花。
19 (ⅰ证明：设， 直三棱柱， ，
又，，平面。
平面，.(ⅱ)由 (ⅰ知，，，又已知，.
在中，， 法一：取的中点，则易证平面，连结，则，已知，平面，是二面角平面角。
在中，，.即二面角的大小为。
法二：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系。则。
设平面的法向量为，则，不妨令，得，故可取。
同理，可求得平面的一个法向量。
设与的夹角为，则 ,
由图可知， 二面角的大小为锐角，故二面角的大小为。
20 解： (由对称性可知，为等腰直角三角形，斜边上的高为，斜边长。
点到准线的距离。
由得， ,圆的方程为。
(ⅱ)由对称性，不妨设点在第一象限，由已知得线段是圆的在直径，代入抛物线得。
直线的斜率为。直线的方程为。
由得，.由得， .故直线与抛物线的切点坐标为，直线的方程为。
所以坐标原点到，的距离的比值为。
21解： (令得，再由，令得。
所以的解析式为。
易知是上的增函数，且。
所以 所以函数的增区间为，减区间为。
ⅱ) 若恒成立，即恒成立，1)当时，恒成立， 为上的增函数，且当时， ,不合题意；
2)当时，恒成立， 则，;
3)当时， 为增函数，由得，故。
当时， 取最小值。
依题意有，即，令，则，所以当时， 取最大值。
故当时， 取最大值。
综上， 若，则的最大值为。
22证明：(ⅰ分别为边，的中点，.,且 ，又∵为的中点，且 ，.
ⅱ)由(ⅰ)知，，，
23解：(ⅰ依题意，点，，，的极坐标分别为。
所以点，，，的直角坐标分别为、、、
ⅱ) 设，则
所以的取值范围为。
24解：(ⅰ当时，不等式 或或。或。
所以当时，不等式的解集为或。
ⅱ) 的解集包含，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，所以，即。
所以的取值范围为。
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