2010-2024年全国新课标卷（ⅰⅱ卷）理科数学试题分类汇编。
03、导数及其应用。
一、选择题与填空题。
2024年新课标卷，3】曲线在点处的切线方程为（ ）
a） （b） （c） （d）
答案】a解析】，切线方程为 ，即。
2024年新课标卷，9】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( )
a） （b）4 （c） （d）6
答案】c解析】用定积分求解，选c
2024年新课标卷，12】设点p在曲线上，点q在曲线上，则的最小值为（ ）
abcd．
答案】b解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称。
函数上的点到直线的距离为。
设函数。由图象关于对称得：最小值为，2024年新课标ⅰ卷，16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为。
答案】16解析】∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.
由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.
易知，f(x)在(－∞2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋上为减函数．
f(－2－)＝1－(－2－)2][(2－)2＋8(－2－)＋15]＝(8－)(8－)＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.
f(－2＋)＝1－(－2＋)2][(2＋)2＋8(－2＋)＋15]
故f(x)的最大值为16.
2024年新课标ⅱ卷，10】已知函数，下列结论中错误的是（ ）
a. b.函数的图像是中心对称图形。
c.若是的极小值点，则在区间单调递减。
d.若是的极值点，则。
答案】c解析】∵f (x)=3x2+2ax+b，∴y＝f (x)的图像大致如右图所示，若x0是f (x)的极小值点，则则在(－∞x0)上不单调，故c不正确．
2024年新课标ⅰ卷，11】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为（ ）
答案】b解析1】由已知，，令，得或，当时，；
且，有小于零的零点，不符合题意．
当时， 要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选b
解析2】由已知， =有唯一的正零点，等价于。
有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，，由，要使有唯一的正零根，只需，选b
2024年新课标ⅱ卷，8】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（
a．0 b．1 c．2 d．3
答案】d解析】∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即。
2024年新课标ⅱ卷，12】设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
a． b．
c． d．
答案】c解析】∵，令得，，即，的极值为，， 即：，故：或。
2024年新课标ⅰ卷，12】设函数=,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
答案】d解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方。因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时， =当时，，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选d．.
作为选择题，该题也可先找到满足的整数，由的唯一性列不等式组求解。由得。又是唯一使的整数，所以，解得，又，且时符合题意。故选d．.
2024年新课标ⅱ卷，12】设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（ ）
ab． cd．
答案】a解析】记函数，则，因为当x>0时，xf (x)-f(x)<0，故当x>0时，g (x)<0，所以g(x)在(0, +单调递减；又因为函数f(x)(x∈r)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞0)单调递增，且g(-1)=g(1)=0．当00，则f(x)>0；当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞1)∪(0, 1)，故选a．
2024年新课标ⅱ卷，16】若直线y = kx+b是曲线y = lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则b =
答案】解析】的切线为：（设切点横坐标为），的切线为：，∴解得 ，∴
2024年新课标ⅲ卷，15】已知为偶函数，当时， ，则曲线在点处的切线方程是。
答案】解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
2024年新课标ⅰ卷，16】如图，圆形纸片的圆心为o，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形abc的中心为o．d、e、f为圆o上的点，△dbc，△eca，△fab分别是以bc，ca，ab为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以bc， ca，ab为折痕折起△dbc，△eca，△fab，使得d，e，f重合，得到三棱锥．当△abc的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为___
答案】解析】由题，连接，交与点，由题，即的长度与的长度或成正比，设，则，，三棱锥的高，则，令，，，令，即，，则，则，体积最大值为．
2024年新课标ⅱ卷，11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
abcd.1
2024年新课标ⅰ卷，16】已知函数，则的最小值是___
答案】解析】易知的最小正周期为，则问题转化求在的最小值。
令，则。令，得。
当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
当时，取得最小值，此时。
又， 2024年新课标ⅱ卷，13】曲线在点处的切线方程为。
答案】解析】，，
2024年新课标ⅲ卷，14】曲线在点处的切线的斜率为，则___
答案】解析】，则，所以。
二、解答题。
2024年新课标卷，21】设函数f(x)=.
ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间；
ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围。
解：（i）时，当时，，当时，故在上单调递减，在单调递增。
ii）由（i）可知，当且仅当时等号成立，故。
当，即时，当时，由可得。
则当时，当时，，而。
当时， 综上得的取值范围为。
2024年新课标卷，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
ⅰ）求、的值；
ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围．
解：（i）由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，.
ii）由（i）知，所以。
考虑函数，则。
i）设，由知，当时，. 而，故当时，，可得；
当时，，可得。
从而当，且时，，即。
ii）设，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾。
iii）设，此时，而，故当时，，得，与题设矛盾。 综合得，的取值范围为。
2024年新课标卷，21】已知函数满足．
1）求的解析式及单调区间；
2）若，求的最大值．
解：（1）因为，所以，所以，解得，．
所以的解析式为，由此得．
而是r上的增函数，且，因此，当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
综上所述，函数的增区间为，减区间为．
2）由已知条件得。
（i）若，则对任意常数，当，且，可得，因此①式不成立．
ii）若，则．
（iii）若，设，则．
当，；当，
从而在单调递减，在单调递增．
所以等价于． ②
因此．设，则．
所以在单调递增，在单调递减，故在在处取得最大值，从而，即．
当，时，②式成立，故．
综合得，的最大值为．
2024年新课标ⅰ卷，21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点p(0,2)，且在点p处有相同的切线y＝4x＋2.
1)求a，b，c，d的值；
2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．
设函数f(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则f′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设可得f(0)≥0，即k≥1.
令f′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.
若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，f′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞时，f′(x)＞0.即f(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞单调递增．故f(x)在[－2，＋∞的最小值为f(x1)．
而f(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，f(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
若k＝e2，则f′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．
从而当x＞－2时，f′(x)＞0，即f(x)在(－2，＋∞单调递增．
而f(－2)＝0，故当x≥－2时，f(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
若k＞e2，则f(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.
从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k的取值范围是[1，e2]．
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