2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编（逐题解析版）
9．数列。一、选择题。
2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
a．1盏b．3盏c．5盏d．9盏。
2015·4）已知等比数列满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（
a．21b．42c．63d．84
2013·3）等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
abcd.
2012·5）已知为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（
a. 7b. 5c. -5 d. -7
二、填空题。
2017·15）等差数列的前项和为，，，则。
2015·16）设sn是数列的前项和，且，，则sn
2013·16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为___
2012·16）数列满足，则的前60项和为 .
三、解答题。
2019·全国卷ⅱ，理19)已知数列和满足a1=1，b1=0， ，
1）证明：是等比数列，是等差数列；
2）求和的通项公式．
2018·17）记为等差数列的前项和，已知，．
1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．
2016·17）（满分12分）sn为等差数列的前n项和，且a1=1，s7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.
ⅰ）求b1，b11，b101；（ⅱ求数列的前1 000项和。
2014·17）已知数列满足a1 =1，an+1 =3 an +1.
ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
ⅱ）证明：.
2011·17）等比数列的各项均为正数，且。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设，求数列的前n项和。
2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
9．数列（逐题解析版）
一、选择题。
2017·3）b【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得。
2015·4）b【解析】：设等比数列公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42，故选b.
2013·3）【答案：c】
解析：由s3=a2+10a1，得，a1+a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即a1q2=9a1，解得q2=9. ∵a5=a1·q4=9，即81a1=9，∴a1=.
2012·5）．【答案：d】解析：，，或，成等比数列，.
二、填空题。
2019·全国卷ⅱ，理19)已知数列和满足a1=1，b1=0， ，
1）证明：是等比数列，是等差数列；
2）求和的通项公式．
19．解：（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
2）由（1）知，，．
所以，2017·15）【解析， ∴
2015·16）【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
2013·16）-49【解析】设数列的首项为a1，公差为d，则s10＝＝10a1＋45d＝0①，s15＝＝15a1＋105d＝25②，联立①②，得a1＝-3，，所以sn. 令f(n)＝nsn，则，. 令f ′(n)＝0，得n＝0或。
当时，f ′(n)＞0,时，f ′(n)＜0，所以当时，f (n)取最小值，而n∈n＋，则f (6)＝-48，f (7)＝-49，所以当n＝7时，f (n)取最小值-49.
2012·16）1830【解析】由得，由②①得，③
由①得， .
由③得， ，所以。
三、解答题。
2018·新课标ⅱ，17）记为等差数列的前项和，已知，．
1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．
解：（1）设的公差为d，由题意得，由得d=2，所以，所以的通项公式为。
2）由（1）得。
所以当n=4时，取得最小值，最小值为16.
2016·17）.（满分12分）sn为等差数列的前n项和，且a1=1，s7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.
ⅰ）求b1，b11，b101；（ⅱ求数列的前1 000项和。
2016·17）解析：⑴设数列的公差为，，∴记的前项和为，则．
当时，；当时，；
当时，；当时，．
2014·17）．解析：（ⅰ证明：∵，即：，又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知，∴，故：
2011·17）解析：（ⅰ设数列的公比为q，由得所以。 由条件可知a>0，故。 由得，所以。 故数列的通项式为。
ⅱ），故，所以数列的前n项和为。
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