2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编（逐题解析版）
11．解析几何。
一、选择题。
2019·全国卷ⅱ，理8)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
a．2b．3c．4d．8
(2019·全国卷ⅱ，理11)设f为双曲线c：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于p，q两点．若，则c的离心率为（ ）
a． b． c．2 d．
2018·5）双曲线的离心力为，则其渐近线方程为（ ）
abc． d．
2018·12）已知，是椭圆的左、右焦点交点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 （
abcd．
2017·9）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
a．2bcd．
2016·4）圆的圆心到直线的距离为1，则a =（
abcd．2
2016·11）已知f1，f2是双曲线e：的左，右焦点，点m在e上，m f1与x轴垂直，，则e的离心率为（ ）
abcd．2
2015·7）过三点a(1, 3)，b(4, 2)，c(1, -7)的圆交于y轴于m、n两点，则=（
ab．8cd．10
2015·11）已知a，b为双曲线e的左，右顶点，点m在e上，abm为等腰三角形，且顶角为120°，则e的离心率为（ ）
ab．2cd．
2014·10）设f为抛物线c:的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a, b两点，o为坐标原点，则△oab的面积为（ ）
a． b． cd．
2013·11）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的园过点，则的方程为（ ）
a.或 b.或 c.或 d.或。
2013·12）已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）
abcd.2012·4）设f1，f2是椭圆e: 的左右焦点，p为直线上的一点，是底角为30的等腰三角形，则e的离心率为（ ）
abcd.
2012·8）等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y2=16x的准线交于a，b两点，|ab|=，则c的实轴长为（ ）
abc. 4d. 8
2011·7）设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a, b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为（ ）
abc．2d．3
二、填空题。
2017·16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则。
2014·6）设点m(,1)，若在圆o:上存在点n，使得∠omn=45，则的取值范围是___
2011·14）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为。过f1的直线l交c于a，b两点，且△abf2的周长为16，那么c的方程为。
三、解答题。
(2019·全国卷ⅱ，理21)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x,y)满足直线am与bm的斜率之积为．记m的轨迹为曲线c．
1）求c的方程，并说明c是什么曲线；
2）过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pe⊥x轴，垂足为e，连结qe并延长交c于点g．
i）证明：是直角三角形；
ii）求面积的最大值．
2018·19）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，．
1）求的方程；
2）求过点且与的准线相切的圆的方程．
2017·20）设o为坐标原点，动点m在椭圆c：上，过m做x轴的垂线，垂足为n，点p满足。
1）求点p的轨迹方程；
2）设点q在直线x=-3上，且。证明：过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f.
2016·20）已知椭圆e:的焦点在轴上，a是e的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交e于a，m两点，点n在e上，ma⊥na.
ⅰ）当t=4，|am|=|an|时，求△amn的面积；
ⅱ）当2|am|=|an|时，求k的取值范围。
2015·20）已知椭圆c： (m＞0)，直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.
ⅰ）证明：直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值；
ⅱ）若l过点，延长线段om与c交于点p，四边形oapb能否平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
2014·20）设f1，f2分别是椭圆的左右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直，直线mf1与c的另一个交点为n.
ⅰ）若直线mn的斜率为，求c的离心率；
ⅱ）若直线mn在y轴上的截距为2，且，求a, b.
2013·20）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为。
ⅰ）求的方程；
ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值。
2012·20）设抛物线的焦点为f，准线为l，a为c上的一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点。
（ⅰ）若∠bfd=90，△abd面积为，求p的值及圆f的方程；
（ⅱ）若a、b、f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值。
2011·20）在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0, -1)，b点在直线y =-3上，m点满足，，m点的轨迹为曲线c .
ⅰ）求c的方程；
ⅱ）p为c上的动点，l为c在p点处得切线，求o点到l距离的最小值 .
2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
11．解析几何（逐题解析版）
一、选择题。
2019·全国卷ⅱ，理8)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
a．2b．3c．4d．8
答案】d 解析：抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，又，则。
2019·全国卷ⅱ，理11)设f为双曲线c：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于p，q两点．若，则c的离心率为（ ）
a． b． c．2 d．
答案】a 解析：由题意，把x代入x2+y2＝a2，得pq，再由|pq|＝|of|，得，即2a2＝c2，∴，解得e．
方法2：由题意知：，又，所以，即，.
2018·新课标ⅱ，理5）双曲线的离心力为，则其渐近线方程为（ ）
abc． d．
答案】a 解析：由于可知：该双曲线的渐近线方程为。
已知离心率（），设，则，由可知：，故双曲线的渐近线方程为。
解法二：已知渐近线方程为，由于可得：，故双曲线的渐近线方程为。
2018·新课标ⅱ，理12）已知，是椭圆的左、右焦点交点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 （
abcd．
答案】d 解析：解三角形的方法（几何法）
在为等腰三角形，，所以，，在rt中，，
所以，，在rt中，，故离心率。
解法二：解三角形的方法（几何法）：在为等腰三角形，，所以，由余弦定理可知：，因为，，
所以，在中，由正弦定理可知：，故离心率。
2017·9）a【解析】解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得。
解法二：设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率。
关系为，解得。
2016·4）a解析：圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选a．
2015·7）c解析：由已知得，，所以kabkcb=-1，所以ab⊥cb，即△abc为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25，令x=0，得，所以，故选c.
2016·11）a解析：离心率，由正弦定理得．
故选a．2015·11）d解析：设双曲线方程为，如图所示，|ab|=|bm|，∠abm=120，过点m作mn⊥x轴，垂足为n，在rt△bmn中，|bn|=a，，故点m的坐标为，代入双曲线方程得a2 = b2 = c2 -a2，即c2 = 2a2，所以，故选d.
2014·10）d解析：∵，设直线的方程为，代入抛物线方程得：，设、，∴由弦长公式得，由点到直线的距离公式得：到直线的距离，∴.
另解】直线ab的方程代入抛物线方程得：，，
2013·11）c解析：设点m的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|mf|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点f的坐标为，所以以mf为直径的圆的方程为。
将x＝0，y＝2代入得，所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以c的方程为y2＝4x或y2＝16x.
故选c.
2013·12）b解析：由题意画出图形，如图（1）.由图可知，直线的方程为。由解得。可求。因为直线将分割为面积相等的两部分，所以。又，所以，即。
整理得。所以，所以。
所以，即，可以看出，当增大时，也增大。
当时，，即。当时，直线接近于。当时，如图（2），.所以，所以。
由上分析可知，故选b.
2012·4）c解析：由题意可得，是底角为30的等腰三角形可得，即， 所以。
2012·8）c解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点a在上，将点a代入得，所以实轴长为。
2011·7）b解析：通径|ab|=得，故选b.
二、填空题。
2017·16）【解析】∵ 点为线段的中点，∴，
2014·6）解析：由图可知点m所在直线与圆相切，又，由正弦定理得，∴，即，∵，即，解得：.
另解】过oa⊥mn，垂足为a，因为在rt△oma中，|oa|≤1，∠omn=45，所以=，解得，因为点m (x0, 1)，所以，解得，故的取值范围是。
2011·14） 解析：由得a=4，c=，从而b=8，.
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