2024年—2024年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编（逐题解析版）
7．函数与导数。
一、填空题。
2019·全国卷ⅱ，理6)若，则（ ）
a． b． cd．
2019·全国卷ⅱ，理12)设函数的定义域为r，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
2018·3）函数的图象大致是（ ）
2018·10）若在是减函数，则的最大值是（ ）
abcd．
2018·11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
abcd．
2017·11）若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
abcd.1
2016·12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…则（ ）
a．0b．mc．2md．4m
2015·5）设函数，则（ ）
a．3b．6c．9d．12
2015·10）如图，长方形abcd的边ab=2，bc=1，o是ab的中点，点p沿着边bc，cd与da运动，记∠bop=x. 将动点p到a，b两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （
abcd．2015·12）设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（ ）
ab． cd．
2014·8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（
a．0 b．1 c．2 d．3
2014·12）设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
2013·8）设，，，则（ ）
a. b. c. d.
2013·10）已知函数，下列结论中错误的是（ ）
a. b.函数的图像是中心对称图形。
c.若是的极小值点，则在区间单调递减。
d.若是的极值点，则。
2012·10）已知函数，则的图像大致为（ ）
abcd.2012·12）设点p在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
a. b. c. d.
2011·2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
a． b． c． d．
2011·9）由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（ ）
ab．4cd．6
2011·12）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
a．2b．4c．6d．8
二、填空题。
2019·全国卷ⅱ，理14)已知是奇函数，且当时，．若，则。
2018·新课标ⅱ，理13）曲线在点处的切线方程为。
2014·15）已知偶函数f (x)在[0, +单调递减，f (2)=0. 若f (x-1)>0，则x的取值范围是。
2016·16）若直线y = kx+b是曲线y = lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则b =
三、解答题。
(2019·全国卷ⅱ，理20)已知函数．
1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
2018·新课标ⅱ，理21）已知函数．
1）若，证明：当时，；
2）若在只有一个零点，求．
2017·21）已知函数且。
1）求a；2）证明：存在唯一的极大值点，且。
2016·21）（ⅰ讨论函数的单调性，并证明当》0时，；
ⅱ）证明：当时，函数有最小值。设g (x)的最小值为，求函数的值域。
14．（2015·21）设函数。
ⅰ）证明：f (x)在（-∞0）单调递减，在（0，+∞单调递增；
ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤e-1，求m的取值范围．
15．（2014·21）已知函数。
ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）设，当时，，求的最大值；
ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）.
16．（2013·21）已知函数。
ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；
ⅱ）当时，证明。
17.（2012·21）已知函数。
（ⅰ）求的解析式及单调区间；
（ⅱ）若，求的最大值。
18．（2011·21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
ⅰ）求a、b的值；
ⅱ）如果当，且时，，求k的取值范围。
2024年—2024年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
7．函数与导数（解析版）
一、选择题。
2019·全国卷ⅱ，理6)若，则（ ）
a． b． cd．
答案】c 解析：对于a ，当时，，所以a错；
对于b ，是增函数，，所以b错；
对于c ，是增函数，，所以c正确；
对于d ，不单调，大小不确定，所以d错；故选c.
解法2：特殊值法：令，则，a错；，b错；
c对；，d错；故选c.
2019·全国卷ⅱ，理12)设函数的定义域为r，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
答案】b 解析：当时，.
令，解得或。
又，所以。解法2：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[0]，x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[0]；
x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，若对任意x∈（﹣m]，都有f（x），则m．
故选：b．2018·新课标ⅱ，3）函数的图象大致是（ ）
答案】b 解析：该函数为奇函数，奇函数关于原点对称，故排除选项a中的图像；当时，，，故排除选项d中的图像；取特殊值，当时，，而不接近函数值1，故排除选项c中的图像；
2018·10）若在是减函数，则的最大值是（ ）
abcd．
答案】a 解析：解法一：因为，所以，因为函数在区间上单调递减，所以。
解法二：导数法：因为，所以，所以，故。
解法三：特值法：因为，所以，当时， ，不满题意，故舍去，故只能选择a.
2018·新课标ⅱ，11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
abcd．
答案】c解析：常规解法：因为函数为定义域r上的奇函数，，所以，由题意可知：，，所以
所以，所以，方法2：特值函数法：设该函数为正弦函数，
奇函数（定义域必须包含零）
2017·11）a【解析】∵ 导函数，，∴导函数，令，∴，当变化时，，随变化情况如下表：
从上表可知：极小值为。故选a
2016·12）b解析：由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，，∴故选b．
2016·12）b解析：由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，，∴故选b．
2015·5）c解析：由已知得，又，所以，故．
2015·10）b解析：由已知得，当点p在bc边上运动时，即时，；当点p在cd边上运动时，即，时，，当时，；当点p在ad边上运动时，即时， ，从点p的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选b．
2015·12）a解析：记函数，则，因为当x>0时，xf (x)-f(x)<0，故当x>0时，g (x)<0，所以g(x)在(0, +单调递减；又因为函数f(x)(x∈r)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞0)单调递增，且g(-1)=g(1)=0．当00，则f(x)>0；当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞1)∪(0, 1)，故选a．
2014·8）d解析：∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即。
2014·12）c解析：∵，令得，，即，的极值为，， 即：，故：或。
2013·8）d解析：根据公式变形，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以，即c＜b＜a. 故选d.
2013·10）c解析：∵f (x)=3x2+2ax+b，∴y＝f (x)的图像大致如右图所示，若x0是f (x)的极小值点，则则在(－∞x0)上不单调，故c不正确．
2012·10）b解析：易知对恒成立，当且仅当时，取等号，故的值域是(-∞0). 所以其图像为b.
2012·12）b解析：因为与互为反函数，所以曲线与曲线关于直线y=x对称，故要求|pq|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为a，则a点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|pq|的最小值。 则，，即，故切点a的坐标为，因此，切点a点到直线y=x距离为，所以。
2011·2）b解析：由各函数的图像知，故选b.
2011·9）c】解析：用定积分求解，故选c.
2011·12）d解析：的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。 不妨把他们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则，故选d .
二、填空题。
2019·全国卷ⅱ，理14)已知是奇函数，且当时，．若，则。
答案】 解析：当时，.
又时，，所以。
又是奇函数，所以。
又所以，解得。
解法2：，是奇函数，所以。
又时，，所以，解得。
2018·新课标ⅱ，理13）曲线在点处的切线方程为。
答案】 解析：，直线为．
2014·15）解析：∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解得：
2016·16）解析：的切线为：（设切点横坐标为），的切线为：，∴解得 ，∴
三、解答题。
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