2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
7．函数与导数。
一、填空题。
2017·11）若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
abcd.1
2016·12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…则（ ）
a．0b．mc．2md．4m
2015·5）设函数，则（ ）
a．3b．6c．9d．12
2015·10）如图，长方形abcd的边ab=2，bc=1，o是ab的中点，点p沿着边bc，cd与da运动，记∠bop=x. 将动点p到a，b两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （
abcd．2015·12）设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（ ）
ab． cd．
2014·8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（
a．0 b．1 c．2 d．3
2014·12）设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
2013·8）设，，，则（ ）
a. b. c. d.
2013·10）已知函数，下列结论中错误的是（ ）
a. b.函数的图像是中心对称图形。
c.若是的极小值点，则在区间单调递减。
d.若是的极值点，则。
2012·10）已知函数，则的图像大致为（ ）
abcd.2012·12）设点p在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
a. b. c. d.
2011·2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
a． b． c． d．
2011·9）由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（ ）
ab．4cd．6
2011·12）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
a．2b．4c．6d．8
二、填空题。
2014·15）已知偶函数f (x)在[0, +单调递减，f (2)=0. 若f (x-1)>0，则x的取值范围是。
2016·16）若直线y = kx+b是曲线y = lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则b =
三、解答题。
2017·21）已知函数且。
1）求a；2）证明：存在唯一的极大值点，且。
2016·21）（ⅰ讨论函数的单调性，并证明当》0时，；
ⅱ）证明：当时，函数有最小值。设g (x)的最小值为，求函数的值域。
14．（2015·21）设函数。
ⅰ）证明：f (x)在（-∞0）单调递减，在（0，+∞单调递增；
ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤e-1，求m的取值范围．
15．（2014·21）已知函数。
ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）设，当时，，求的最大值；
ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）.
16．（2013·21）已知函数。
ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；
ⅱ）当时，证明。
17.（2012·21）已知函数。
（ⅰ）求的解析式及单调区间；
（ⅱ）若，求的最大值。
18．（2011·21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
ⅰ）求a、b的值；
ⅱ）如果当，且时，，求k的取值范围。
2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
7．函数与导数（解析版）
2017·11）a【解析】∵ 导函数，，∴导函数，令，∴，当变化时，，随变化情况如下表：
从上表可知：极小值为。故选a
2016·12）b解析：由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，，∴故选b．
2016·12）b解析：由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，，∴故选b．
2015·5）c解析：由已知得，又，所以，故．
2015·10）b解析：由已知得，当点p在bc边上运动时，即时，；当点p在cd边上运动时，即，时，，当时，；当点p在ad边上运动时，即时， ，从点p的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选b．
2015·12）a解析：记函数，则，因为当x>0时，xf (x)-f(x)<0，故当x>0时，g (x)<0，所以g(x)在(0, +单调递减；又因为函数f(x)(x∈r)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞0)单调递增，且g(-1)=g(1)=0．当00，则f(x)>0；当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞1)∪(0, 1)，故选a．
2014·8）d解析：∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即。
2014·12）c解析：∵，令得，，即，的极值为，， 即：，故：或。
2013·8）d解析：根据公式变形，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以，即c＜b＜a. 故选d.
2013·10）c解析：∵f (x)=3x2+2ax+b，∴y＝f (x)的图像大致如右图所示，若x0是f (x)的极小值点，则则在(－∞x0)上不单调，故c不正确．
2012·10）b解析：易知对恒成立，当且仅当时，取等号，故的值域是(-∞0). 所以其图像为b.
2012·12）b解析：因为与互为反函数，所以曲线与曲线关于直线y=x对称，故要求|pq|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为a，则a点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|pq|的最小值。 则，，即，故切点a的坐标为，因此，切点a点到直线y=x距离为，所以。
2011·2）b解析：由各函数的图像知，故选b.
2011·9）c】解析：用定积分求解，故选c.
2011·12）d解析：的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。 不妨把他们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则，故选d .
二、填空题。
2014·15）解析：∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解得：
2016·16）解析：的切线为：（设切点横坐标为），的切线为：，∴解得 ，∴
三、解答题。
2017·21）已知函数且。
1）求a；2）证明：存在唯一的极大值点，且。
2017·21）解析：(1)法一：由题知： ，且，所以，即当时，；当时，；当时，成立。
令，当时，，递减，，所以：，即：，所以；
当时，，递增，，所以：，即：.
所以，.综上，.
法二：洛必达法则：由题知： ，且，所以：.
即当时，；当时，；
当时，成立。
令，.令，.
当时，,递增，；
所以，递减，，所以：；
当时，,递减，；
所以，递减，，所以：.
故。2）由(1)知：，，设，则。
当时，；当时，.
所以在递减，在递增。
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；
当时，.又，所以是的唯一极大值点。
由得，故。由得。
因为是在的唯一极大值点，由，得。
所以。2016·21）（ⅰ讨论函数的单调性，并证明当》0时，；
（ⅱ）证明：当时，函数有最小值。设g (x)的最小值为，求函数的值域。
2016·21）证明：⑴，当时，，∴在上单调递增，∴时，，∴
，，由(1)知，当时，的值域为，只有一解．使得，，当时，，单调减；当时，单调增，，记，在时，，∴单调递增，∴．
2015·21）设函数。
ⅰ）证明：f (x)在（-∞0）单调递减，在（0，+∞单调递增；
ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤e-1，求m的取值范围．
2015·21）解析：（ⅰ若，则当时，；当时，，.若，则当时，；当时，，，所以，在单调递减，在单调递增。
ⅱ）由（ⅰ）知，对任意的，在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故在处取得最小值，所以对于任意，的充要条件是，即①. 设函数，则，当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增。又，，故当时，.
当时，，即①式成立；当时，由的单调性，，即；当时，，即，综上，的取值范围是[-1,1].
2014·21）已知函数。
ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）设，当时，，求的最大值；
ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）.
2014·21）解析：（ⅰ当且仅当x=0时等号成立，所以函数在r上单调递增．
ⅱ）∴当x>0时， ，1) 当时，，当且仅当x=0时等号成立。 所以此时g(x)在r上单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0，有g(x)>0.
2) 当时，若x满足时，即时，，而g(0)=0，因此当时，g(x)<0.
综上可知，当时，才对任意的x>0，有g(x)>0，因此b的最大值为2.
ⅲ）由(ⅱ)知，当b=2时，，；
当时，所以ln2的近似值为0.693.
2013·21）已知函数。
ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；
ⅱ）当时，证明。
2013·21）解析：（ⅰf ′(x)＝.由x＝0是f(x)的极值点得f ′(0)＝0，所以m＝1.
于是f (x)＝ex-ln(x+1)，定义域为(-1，+∞f ′(x)＝.函数f ′(x)＝在(-1，+∞单调递增，且f ′(0)＝0.因此当x∈(-1,0)时，f ′(x)＜0；当x∈(0，＋∞时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(-1,0)单调递减，在(0，＋∞单调递增．
ⅱ）当m≤2，x∈(-m，+∞时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)＞0.当m=2时，函数f ′(x)=在(-2，+∞单调递增．又f ′(1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x)=0在(-2，+∞有唯一实根x0，且x0∈(-1,0)．当x∈(-2，x0)时，f ′(x)＜0；当x∈(x0，+∞时，f ′(x)＞0，从而当x=x0时，f (x)取得最小值．由f ′(x0)=0得=，ln(x0+2)=-x0，故f (x) ≥f (x0)= x0=＞0. 综上，当m≤2时，f (x)＞0.
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