2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
11．立体几何。
一、选择题。
2018·9）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。
abcd．
2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
a． b． cd．
2017·10）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
a．20b．24c．28d．32π
2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
abcd．
2015·9）已知a，b是球o的球面上两点，∠aob=90，c为该球面上的动点，若三棱锥o-abc体积的最大值为36，则球o的表面积为（ ）
a．36b．64c．144d．256π
2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
abcd．
2014·11）直三棱柱abc-a1b1c1中，∠bca=90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bm与an所成的角的余弦值为（ ）
abcd．
2013·4）已知为异面直线，平面，平面。直线满足，，，则（ ）
a.α 且lb.且
c.与相交，且交线垂直于 d.与相交，且交线平行于。
2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
a. 6b. 9c. 12d. 18
2012·11）已知三棱锥s-abc的所有顶点都在球o的球面上，△abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc=2，则此棱锥的体积为（ ）
abcd.
2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
abcd.二、填空题。
2018·16）16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为。
2016·14）α、是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
3）如果α∥βmα，那么m∥β.
4）如果m∥n，α∥那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有填写所有正确命题的编号。)
2011·15）已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上，且，则棱锥o-abcd的体积为。
三、解答题。
2017·19）如图，四棱锥p-abcd中，侧面pad为等比三角形且垂直于底面abcd，，，e是pd的中点。
1）证明：直线平面pab；
2）点m在棱pc 上，且直线bm与底面abcd所成锐角为，求二面角m-ab-d的余弦值。
2016·19）如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab=5，ac=6，点e，f分别在ad，cd上，ae=cf=，ef交bd于点h. 将△def沿ef折到△def的位置，.
ⅰ）证明：平面abcd；
ⅱ）求二面角的正弦值。
2015·19）如图，长方体abcd-a1b1c1d1中ab=16，bc=10，aa1=8，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1e=d1f=4，过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
ⅱ）求直线af与平面所成角的正弦值。
2014·18）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，e为pd的中点。
ⅰ）证明：pb //平面aec；
ⅱ）设二面角d-ae-c为60，ap=1，ad=，求三棱锥e-acd的体积。
2013·18）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.
ⅰ）证明：//平面；
ⅱ）求二面角的正弦值。
2012·19）如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，，d是棱aa1的中点，dc1⊥bd.
（ⅰ）证明：dc1⊥bc；（ⅱ求二面角a1-bd-c1的大小。
2011·18）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四边形，∠dab=60°，ab=2ad，pd⊥底面abcd.
ⅰ）证明：pa⊥bd；
ⅱ）若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。
2018·20）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
1）证明：平面；
2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
11．立体几何（逐题解析版）
一、选择题。
2018·9）c
2017·4）b【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为，，，上面阴影的体积是上面部分体积的一半，即，与的比为高的比（同底），即，，故总体积。
方法2：，其余同上，故总体积。
2017·10）b【解析】解法一：在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑﹑﹑并相互连接。
由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，通过几何关系求得，，，利用余弦定理可求得异面直线。
和所成的夹角余弦值为。
解法二：补形通过补形之后可知：或其补角为异面直线和所成的角，通过几何关系可知：，由勾股定理或余弦定理可得异面直线和所成的夹角余弦值为。
解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，，，
2016·6）c解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：，，故选c．
2015·6）d解析：由三视图得，在正方体abcd-a1b1c1d1中，截去四面体a-a1b1d1，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选d.
2015·9）c解析：如图所示，当点c位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球o的半径为r，此时，故r=6，则球o的表面积为，故选c．
2014·6）c解析：原来毛坯体积为π·32·6=54π (cm2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为。
2014·11）c解析：取bc的中点p，连结np、ap， ∵m，n分别是a1b1，a1c1的中点，∴四边形nmbp为平行四边形，∴bm//pn，∴所求角的余弦值等于∠anp的余弦值，不妨令bc=ca=cc1=2，则an=ap=，np=mb=，.
另解】如图建立坐标系，令ac=bc=c1c=2，则a(0, 2, 2)，b(2, 0, 2)，m(1, 1, 0)，n(0, 1, 0)，
2013·4）d解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选d.
2013·7）a解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系o－xyz的图像为右图，则它在平面zox上的投影即正视图为右图，故选a.
2012·7）b解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为。
2012·11）a解析：易知点s到平面abc的距离是点o到平面abc的距离的2倍。显然o-abc是棱长为1的正四面体，其高为，故，.
2011·6）d解析：. 故选d.
二、填空题。
2016·14）【答案：②③
2011·15）解析：设abcd所在的截面圆的圆心为m，则am=，om=，.
三、解答题。
2017·19）如图，四棱锥p-abcd中，侧面pad为等比三角形且垂直于底面abcd，，，e是pd的中点。
1）证明：直线平面pab；
2）点m在棱pc 上，且直线bm与底面abcd所成锐角为，求二面角m-ab-d的余弦值。
基本解法1】
1）证明：取中点为，连接、，因为，所以，因为是的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面， 平面，所以直线平面，2）取中点为，连接，因为△为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图。
设，则，所以，设，则，因为点在棱上，所以，即，所以，所以，平面的法向量为，因为直线与底面所成角为，所以，解得，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以求二面角的余弦值。
2016·19）如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab=5，ac=6，点e，f分别在ad，cd上，ae=cf=，ef交bd于点h. 将△def沿ef折到△def的位置，.
ⅰ）证明：平面abcd；
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