2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
15．不等式选讲。
2018·23）[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数．1）当时，求不等式的解集；
2）若，求的取值范围．
2017·23）已知，证明：
2016·24）已知函数，m为不等式的解集。
ⅰ）求m；ⅱ）证明：当a，b∈m时，.
2015·24）设a，b，c，d均为正数，且，证明：
ⅰ）若》，则；
ⅱ）是的充要条件。
2014·24）设函数。
ⅰ）证明：f (x) ≥2；
ⅱ）若f (3) <5，求a的取值范围。
2013·24）设均为正数，且。
证明：（ⅰ2012·24）已知函数f (x) =x + a| +x-2|.
（ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x) ≥3的解集；
ⅱ）若f (x) ≤x-4 |的解集包含[1, 2]，求a的取值范围。
2011·24）设函数，其中。
ⅰ）当时，求不等式的解集；
ⅱ）若不等式的解集为，求a的值。
2023年—2023年新课标全国卷ⅱ理科数学试题分类汇编。
14．不等式选讲（逐题解析版）
2018·23）【解析】（1）当时，
可得的解集为．
2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
2017·23）[选修4-5：不等式选讲]已知，证明：
基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：
解法二： 解法三：
又，所以．当时，等号成立．
所以，，即．
2）解法一：由及得。
所以．解法二：（反证法）假设，则，两边同时立方得：
即，因为，所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．
解法三：因为，所以：
又，所以：。
所以，，即．
解法四：因为，所以，即，即（当且仅当时取等号）．
2016·24）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，m为不等式的解集。
ⅰ）求m；ⅱ）证明：当a，b∈m时，.
2016·24）解析：⑴当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．
综上可得，．
当时，有，即，则，则，即，证毕．
2015·24）设a，b，c，d均为正数，且，证明：
ⅰ）若》，则；
ⅱ）是的充要条件。
2015·24）解析：（ⅰ因为，由题设得，因此。
ⅱ）（i）若，则，即，因为，所以，由（ⅰ）得。
ii）若，则，即，因为，所以，于是，因此，综上，是的充要条件。
2014·24）设函数。
ⅰ）证明：f (x) ≥2；
ⅱ）若f (3) <5，求a的取值范围。
2014·24）解析，当且仅当时，取“”号。 故。
ⅱ）∵即：，∴或，解得：. 故a的取值范围是。
2013·24）设均为正数，且。
证明：（ⅰ2013·24）解析：（ⅰ由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
ⅱ）因为，，，故≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c. 所以≥1.
2012·24）已知函数f (x) =x + a| +x-2|.
（ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x) ≥3的解集；
ⅱ）若f (x) ≤x-4 |的解集包含[1, 2]，求a的取值范围。
2012·24）解析：（ⅰ当时，不等式或或或。 所以当时，不等式的解集为或。
ⅱ）的解集包含，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，所以，即。 故的取值范围为。
2011·24）设函数，其中。
ⅰ）当时，求不等式的解集；
ⅱ）若不等式的解集为，求a的值。
2011·24）解析：（ⅰ当时，可化为。 由此可得或。 故不等式的解集为或。
ⅱ）由得，此不等式化为不等式组或，即或，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得，故。
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