基本不等式教学设计（第一课时）
阮晓锋。1、教学目标。
1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。
2.过程与方法目标：通过代数、几何背景**抽象出基本不等式；
3．情感与价值目标：通过学习，体会数学**于生活，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点。
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程；
难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．
三、教学过程：
1．设置情景，引入新课。
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。
**一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？
问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？
结论：一般地，对于正实数a、b，我们有。
当且仅当a=b时等号成立。
2．代数证明，推出结论。
问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）
证明（作差法）：，当时取等号．
在该过程中，可发现a,b取值可以是全体实数）
问题3：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？
重要不等式：对任意实数a、b，我们有（当且仅当a=b时等号成立）
特别地，若a>0且b>0可得，即（当且仅当a=b时等号成立）
基本不等式：若a>0且b>0，则（当且仅当a=b时等号成立）
深化认识：1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
2)若称为a、b的算术平均数，称为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
3．动手操作、几何证明，相见益彰。
**二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）
**三：如图，ab是圆o的直径，点c是ab上一点，ac=a，bc=b．过点c作垂直于ab的弦de，连接ad、bd．根据射影定理可得：由于rtcod中斜边od大于直角边cd，于是有当且仅当点c与圆心o重合时，即a=b时等号成立。
进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）
4．应用举例，巩固新知。
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征，实现积与和的转化）
方法：一般地，对于我们有：
1）若xy=p（p为定值），则当且仅当a=b时，x+y有最小值；
2）若x+y=s（s为定值），则当且仅当a=b时，xy有最大值．
上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：
在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。
例2.设，且，求的最大值．
变式题。若，求的最小值。
思考题：若，你能求出的最小值吗？能求出其最大值吗？若能请求出来。
5．归纳小结，反思提高。
重要不等式：若，则（当且仅当时等号成立）
基本不等式：若，则（当且仅等号成立）
运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．
在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。
6．布置作业，课后延拓。
1）基本作业：课本p100-101习题组题。
2）提高作业：求的值域．
3）**作业：
现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．
基本不等式》（第一课时）教学设计说明。
阮晓锋。一、内容和内容解析。
本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进**感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主**、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。
就内容的人文价值上来看，基本不等式的**与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。
二、教学目标和目标解析。
教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下**基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。
在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。
学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。
进一步通过**几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。
通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。
结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。
三、教学问题诊断。
在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。
另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件“一正二定三相等”，同时又要注意区别重要不等式的使用条件为。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。
而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放到下一个课时的内容。
四、教学支持条件分析。
为了能很好地展示几何图形，体会基本不等式的几何背景，教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于微课中几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，以加深对基本不等式的理解，增强教学效果。
五、教学设计流程图。
教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以**活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用条件、方法。将数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。
六、教法和预期效果分析。
本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、**等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基础上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。
同时，以多**课件、几何画板、微课作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。
通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。
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