基本不等式 第一课时 教案

课题：§3.4基本不等式（第1课时）

教学目标：1、掌握基本不等式，认识其运算结构；

2、了解基本不等式的几何意义及代数意义；

3、能够利用基本不等式求简单的最值。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。

教学难点：利用基本不等式求最值的前提条件。

教学过程：一、创设情景，引入新课。

1.勾股定理的背景及推导。

赵爽弦图。引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题**——**赵爽弦图中的不等关系。

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积，你会得到怎样的不等式？

引导学生从面积关系得到不等式：a2+b2≥ 2ab，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形efgh缩为一个点时，有。

2）总结结论：一般的，如果。

3）推理证明：作差法。

二、讲授新课。

1.思考：如果用，去替换中的，能得到什么结论？,要满足什么条件？

结论：≤(当且仅当时取等号。

2.推理证明：作差法。

3.(1)**：(课本p98)

如图所示：ab是圆的直径，点c是ab上一点，ac=a,bc=b过点c作垂直于ab的弦de，连接ad、bd。

引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长cd,得到不等关系：≤(

几何意义：半弦长不大于半径长。

2)我们称为正数的几何平均数，称为正数的算术平均数。

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数。

三、例题讲解。

题型一：已知积为定值，求和的最小值。

例1:(1)已知x>0, y>0, xy=16, 求x+y的最小值，题型二：已知和为定值，求积的最大值。

例2：已知2x+3y=2（x>0,y>0)求xy 的最大值。

设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件。

四、课时小结。

课堂小结：利用求最值时要注意下面三条：

1）一正：各项均为正数。

2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。

积定和最小)

两个正数和为定值，积有最大值。

和定积最大)

3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”否则会出现错误（取不到等号则说明无最值）

五、作业。自编的练习。

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