一、课题：正弦定理。
二、目标：①使学生掌握正弦定理 ②能应用解斜三角形，解决实际问题。
三、过程：1、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边。
和角。那么斜三角形怎么办？
2、情景：早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400公里，你能设计一种近。
似的测量方法吗？--提出课题：正弦定理。
3、新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即＝＝＝2r(r为△abc外接圆半径）
直角三角形中：sina＝，sinb＝， sinc＝1
即c＝，c＝，c＝ ∴
斜三角形中：
证一：（等积法）在任意斜△abc当中。
s△abc＝
两边同除以即得：＝＝
证二：（外接圆法）如图所示，∠a＝∠d，∴＝cd＝2r
同理＝2r，＝2r
证三：（向量法) 过a作单位向量垂直于，由＋＝
两边同乘以单位向量得(＋)则＋＝
|||cos90＋||cos(90－c)＝
|||cos(90－a)
asinc＝csina ∴＝
同理，若过c作垂直于得：＝
正弦定理的应用：从理论上正弦定理可解决两类问题。
1、两角和任意一边，求其它两边和一角；
2、两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见下图示）已知a、b和a，用正。
弦定理求b时的各种情况：
1)若a为锐角时：
2)若a为直角或钝角时：
四、例解：例1、在△abc中，c＝10，a＝45，c＝30，求a、b和b
例2、在△abc中，b＝，b＝60，c＝1，求a和a、c
例3、在△abc中，c＝，a＝45，a＝2，求b和b、c 解：两解。
例4、已知△abc，bd为b的平分线，求证：ab∶bc＝ad∶dc
分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而b的平分线bd将△abc分成了两个三。
角形：△abd与△cbd，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ab∶ad＝bc∶dc，从而把问题转化到。
两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为。
再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证。
明结论。证明：在△abd内，利用正弦定理得：
在△bcd内，利用正弦定理得：
bd是b的平分线，∴∠abd＝∠dbc ∴sinabd＝sindbc
∠adb＋∠bdc＝180° ∴sinadb＝sin（180°－∠bdc）＝sinbdc ，∴
评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊。
关系式的应用。
五、练习：1、△abc中，sina＝sinb＋sinc，则△abc的形状为。
2、在△abc中，求证。
六、回顾：正弦定理，两种应用(重点：判断解的情况，利用三角形的边与角的关系，判断三角形形状）
几何画板》：验证正弦定理。
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，在操作区作出任意三角形abc。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中三角形的三条边，依次单击“度量”→“长度”菜单命令，度量3条边的长度值，度量值显示在操作区里，第2步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中点a、点b和点c，依次单击“度量”→“角度”菜单命令，角abc的度量值出现在操作区。同样方法，度量角bca和角cab的角度。
然后同时选中3组角度度量值，按住鼠标左键不放，当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3组数据移动到合适位置。
第3步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中操作区中线段ab的度量值和角bca的度量值，依次选择“度量”、
计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”列表下的“mab”、计算器上的“÷”然后单击“函数”下拉列表，选择“sin”，再单击“数值”下拉列表下的“m∠bca”，单击“确定”按钮，操作区**现正弦定理的一个比值。
同样方法，计算出另外两条边和所对角的正弦比值。然后选中3个比值，拖动到适当位置。
第4步，同时选中3个比值，依次单击“图表”→“制表”菜单命令，在操作区制作出一个**，如图93所示。拖动三角。
形的任意一个顶点，可看到操作区的数值变化，但**中的比值始终相等。
第5步，单击工具箱上“选择箭头”工具，选中**，然后双击**，可在**中添加一行纪录。依次单击“文件”、“保存”
菜单命令，保存文件。
一、课题：正弦定理(1)
二、目标： ①使学生掌握正弦定理及其证明 ②会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识。
在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力。
三、重难点：正弦定理的推导及其证明过程。
四、过程。1、问题情境：
在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和。
角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？
探索1、我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在rt△abc中，设c＝90，则sina＝，sinb＝，sinc＝1， 即c＝，c＝，c＝，＝
探索2、对于任意三角形，这个结论还成立吗？
2、学生活动。
学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教。
师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理．
3、建构数学。
探索3、这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设c为最大角，若c为直角，我们已经证得结论成立，如何证明c为锐角、钝角时结论也成立？
证法1、若c为锐角(图(1))，过点a作ad⊥bc于d，此时有sinb＝，sinc＝，故csinb＝bsinc，即．同理可得，所以。
若c为钝角(图(2）），过点a作ad⊥bc，交bc的延长线于d，此时也有sinb＝，且sinc＝sin(180 －c)＝．同样可得．综上可知，结论成立。
证法2、利用三角形的面积转换，先作出三边上的高ad、be、cf，则ad＝csinb，be＝asinc，cf＝bsina．所。
以，每项同除以abc即得。
探索4、充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？
在△abc中，有．设c为最大角，过点a作ad⊥bc于d(图(3))，于是。
设与的夹角为，则，其中，当∠c为锐角或直角时，＝90－c；
当∠c为钝角时，＝c－90．故可得csinb－bsinc＝0，即．同理可得．
因此．五、例题：
例1、在△abc中，a＝30，c＝105，a＝10，求b、c
例2、根据下列条件解三角形：（1）b＝，b＝60，c＝1 （2）c＝，a＝45，a＝2
说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
六、练习：1、在△abc中，a＝30，b＝26，a＝30，求c和b、c
说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。
2、在△abc中，已知b＋c＝8，∠b＝30，∠c＝45，则bc
3、在△abc中，如果∠a＝30，∠b＝120，b＝12，那么aabc的面积是。
4、在△abc中，bc＝30，s＝，则∠a
七、回顾小结：
1、用两种方法证明了正弦定理：
1）转化为直角三角形中的边角关系。
2）利用向量的数量积。
2、初步应用正弦定理解斜三角形。
附、已知a、b两地相距2r，以ab为直径作一个半圆，在半圆上取一点c，连接ac、bc，在abc内种草坪(如图)，m、n分别为弧ac、弧bc的中点，在amc、bnc内种花，其余是空地，设花坛的面积为s，草坪的面积为s，abc＝，(1)用及r表示s和s (2)求的最小值
思路分析】第（1）问用表示的长度，利用分别垂直平分的特点求出、
的高；第（2）问由和之间的关系进行换元转化为代数式求最值，要注意新元的范围。
解析】（1）因为，则，则。
设的中点为，连结，则，，易得，2），令，则，，的最小值为。
解三角形第一课时
1.1 解三角形 第一课时 编写 张娜审核 高二数学组。目标引领 1.进一步熟悉正 余弦定理内容 2.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形 复习回顾 复习1 在解三角形时。已知三边求角，用定理 已知两边和夹角，求第三边，用定理 已知两角和一边，用定理 复习2 在...
第一课 解三角形
必修四用到的知识点 一 诱导公式 sin sin cos cos tan tan 在三角形中根据特殊值猜角。二 三角恒等变换公式。三 同角三角函数的关系。1 平方关系 2 商数关系 必修五知识点复习 1 正弦定理 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。2 余弦定理...
三角形第一课时
三角形第一课时教学设计。一 教学目标。知识与技能 1 三角形的概念，各部分名称及三角形如何按边的长度进行分类。2 操作中感悟三角形的边角关系。3 能判断任意三边能否组成一个三角形。过程与方法 在丰富的现实情境中，抽象出三角形，体会三角形在现实生活中的应用，能举出日常生活中的例子。情感 态度与价值观 ...