6.2 算术平均数与几何平均数。
第一课时。一、教学目标：
1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2．理解定理的几何意义；
3．能够简单应用定理证明不等式。
二、教学重难点：
重点：均值定理及证明。
难点：等号成立条件。
三、教学过程：
一）复习引入：
1．不等式的性质：学生回答。
2．利用上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式。
二）新课讲解：
1．重要不等式：
1）定理：如果，那么（当且仅当时取“=”
2）证明：
当且仅当时取“”号）。
3）说明：①指出定理适用范围：。
当时取等号，其含义是，仅当时取等号，其含义是，，综合起来含义是是的充要条件。
2．定理：如果a,b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）。
证明。即： （当且仅当时，）。
说明：①这个定理适用的范围：，不同于重要不等式；
我们称为的算术平均数（等差中项），称为的几何平均数（等比中项）即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；
“当且仅当”的含义是充要条件。
3．均值定理几何解释：
如图）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径，（半径不小于半弦）当且仅当c与圆心重合，即时取等号。
4．均值定理推广：
定理：定理：如果，那么（当且仅当时取“=”
证明：∵ 6.2 算术平均数与几何平均数1-1
∴上式≥0 从而。
推论：如果，那么（当且仅当时取“=”
证明： 5．关于“平均数”的概念：
如果，且则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数，则≥，即： n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
6．例题分析：
例1．已知为两两不相等的实数，求证：。
证明：∵为两两不相等的实数，以上三式相加：
所以，。说明：综合法。
例2．（p10例2）已知都是正数，求证。
证明：由都是正数，得：，
即。三）练习：
p11练习
四）小结：算术平均数、几何平均数的概念，基本不等式，平均不等式。
四、作业：1．p11习题（其中3给出了调和平均数及加权平均数）。
2．已知是互不相等的正数，求证：。
3．求证：。
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